distribution de Dirac

[invite93279690]

Bonjour,

En révisant mon cours de signal je suis tombé sur une incomprehension concernant la distribution de Dirac.
Dans mon cours elle est definie comme etant la forme lineaire agissant dans l'ensemble des fonctions tests (des "bonnes" fonctions) de classe telle que:

(1)
Jusque là ça allait mais apres on ecrit : c'est dans cette definition que vient mon probleme qu'est ce que ici? en effet si j'applique la premiere definition (1) de en prenant f(t)=t on obtient : .
Donc meme si la question est peut etre bete j'ai en tout cas un probleme de notation; aussi, si quelqu'un pouvait m'eclairer sur ce sujet ça serait vraiment tres sympa merci
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[invite88ef51f0]

Salut,
En fait, représente la fonction de Dirac. Ca serait la fonction associée à la distribution de Dirac si ceel-ci était régulière (tu sais ce que c'est une distribution régulière ?). On a donc : (le premier est une distribution, le deuxième une fonction). Cette fonction est nulle partout sauf en 0 où elle est infinie, et son intégrale vaut 1. Ca, c'est le point de vue du physicien.... Seul petit hic : mathématiquement, c'est n'importe quoi ! Cette fonction n'existe pas, la distribution de Dirac n'est pas régulière. C'est pour cela que Schwar(t?)z a développé la théorie des distributions au milieu du XXe. Maintenant, ça ne gêne pas vraiment les physiciens qui continue à utiliser la fonction de Dirac (ça revient au même...)

[invite93279690]

ok merci beaucoup coincoin tu m'enleves un "pic" du pied et grace à toi normalement je me coucherais moins bete ce soir

[invite88ef51f0]

Dors bien !

[A voir en vidéo sur Futura]

[GrisBleu]

Salut, je ne sais pas dans quel cadre tu as etudie cette distribution (fac et rigoureusement, ecole d inge et pas si rigoureusement que ca), mais si on se sert de la "fonction" , c est qu en signal, tu n as jamais trop envie de remonter jusqu aux distributions.

Si tu as une fonction pas trop mechante, tu peux lui associer une distribution que tu peux ensuite combiner (convolution par exemple) avec celle de dirac. Mais comme tu es paresseux (sauf necessite), tu te sers de , en disant (par exemple) que c est l element neutre de la convolution entre fonction et tu ne passes pas par les distributions.

Ca peut sembler bete, mais il y a pleins d autres chimeres dont on se sers sans trop comprendre le comment du pourquoi. Par exemple, si tu fais du siganl, apparait quand tu fais des transformees de fourrier de cosinus ou de sinus. Mais ces deux fonctions la n existent pas dans un circuit electrique !! elles ne sont pas d energie finie (c est pour ca que apparait). Ainsi la transformee de fourier de cos ou de sin n est clairement definie que dans le cadre des distributions, mais je ne connais pas beaucoup de d ingenieurs qui les ont etudiees pour manipuler des transformees de fourier

C est ca que j aime bien avec les distributions (comme apprenti ingenieur), une fois que tu as vu la theorie, tu peux prendre quelques conventions (, transformees de fourier et convolution qui existent toujours ou presque) et faire des calculs sans trop se prendre la tete (si tu ne fais pas des choses trop exotiques)

[invite93279690]

merci pour ce message wlad_von_tokyo aurais tu des liens à me conseiller ou l'on aurait l'etude rigoureuse de la TF de cos et sin (avec les distributions si j'ai bien compris)?

[GrisBleu]

Salut gatsu (de Berserk ?)

La comme ca, je n ai pas de references a te proposer. J avais attaque le sujet lors d un TIPE de math spe. Mon prof m avait passe un livre sur la transformee de Fourier avec comme couverture une carte de tarot (a chaque chapitre aussi). Je sens que ca ne va pas trop t aide mais je ne me souviens plus du titre.

Pour resumer :

1) L espace "naturel" de la transformee de Fourier, c est l espace de Schwartz . Ce sont les fonctions infiniment derivables, negligeables (ainsi que toutes ces derivees) devant tout polynome. Sur cet espace , la TF est bijective, continue pour la norme 2 avec toutes les proprietes connues (d ou le titre de naturel)

2) Tu prends les distributions "temperees", les formes lineaires continues sur , note . Par exemple . A toute fonction localement integrable (ex: sin et cos) peut etre associee la distribution . En clair toutes les fonctions utiles en signal ont leurs representantes chez

3) Tu definie la Tf d une distribution par . Comme est dans , pas de probleme, c est faisable autant de fois que tu veux.

Au final, pour toute fonction localement integrable (pas forcement integrable, donc sans TF a priori), tu associe une distribution. Cette derniere possede bien une TF. Ensuite (on est pas regardant), tu dis que la TF de la distribution, c est la TF de la fonction.

Voila, mais un vrai poly c est quand meme mieux