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Distribution de Dirac



  1. #1
    Etile

    Distribution de Dirac


    ------

    Bonsoir,
    Lorsque l'on utilise la transformée de Fourier d'une distribution de Dirac, est-ce que l'on est toujours obligé de l'appliquer à une fonction test ?
    Je me le demande car lorsque je calcule la TF de , je retombe sur le résultat attendu. Simple coup de chance ?

    Par ailleurs, comment savoir que pour une fonction quelconque (n'étant pas une fonction test) le produit peut être considéré comme une distribution ?

    -----

  2. #2
    GrisBleu

    Re : Distribution de Dirac

    Salut

    Reponse propre: Dirac n et pas une fonction, mais une distribution. Son argument n est pas x mais une fonction test. Donc si tu veux calculer une TF de distribution, il est nescesaire de travailler avec des fonctions tests

    Reponse ingenieur: en general, on pose que

    et on fait les calculs avec une "fonction" de Dirac.
    En general ca marche, mais des que ca devient complique, ca peut donner n'importe quoi

    ++

  3. #3
    zapple

    Re : Distribution de Dirac

    Sous réserve que je ne me trompe pas, vu que cela fait un bout de temps que je ne me suis pas penché sur les distributions ....

    Par définition (rigoureuse, i.e mathématique) même de la "fonction" de Dirac, qui est une distribution, et donc s'intègre avec des fonctions dites tests, qui sont aussi des distributions.

    La TF de la fonction de Dirac est égale à 1 : est-ce-que cela répond à ta question de "résultat attendu" ?

    @wlad_von_tokyo : c'est pas plutôt


    Citation Envoyé par Etile Voir le message
    Par ailleurs, comment savoir que pour une fonction quelconque (n'étant pas une fonction test) le produit peut être considéré comme une distribution ?
    Je ne vois pas vraiment ce que tu veux dire en fait. Le produit en lui-même n'a pas de sens, sauf si c'est un produit de convolution, et c'est sans doute ce que tu veux dire, et dans ce cas, , f étant une distribution bien sûr. Attention à l'écriture d'un produit de convolution qui est, et pas
    Ce qu'il faut savoir de toute façon, si tu vois qu'il y a une fonction de Dirac, les fonctions qui entrent en jeu sont des distributions.

  4. #4
    Etile

    Re : Distribution de Dirac

    Non, le résultat attendu était , où représente la transformée de Fourier.
    En fait je voudrais savoir s'il était obligatoire d'associer une fonction test à la transformée de Fourier d'une distribution pour en retrouver le résultat.

    Ma deuxième question est plus ambigüe, au sens ou je sais bien que le produit de deux distributions n'a normalement pas de sens, mais il est possible de démontrer que , où est une fonction test.
    Résultat, je me demandais quand est-ce qu'il était possible de considérer ce produit comme une distribution à part entière.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    zapple

    Re : Distribution de Dirac

    Je me suis trompé dans la défintion de la fonction de dirac , c'est plutot :


  7. #6
    zapple

    Re : Distribution de Dirac

    Citation Envoyé par Etile Voir le message
    Non, le résultat attendu était , où représente la transformée de Fourier.
    Oui mais ca vient juste d'un choix du facteur d'intégration. Mais quand tu dis "attendu", c'est attendu par rapport à quoi ? Si tu calcules la TF de la fonction de Dirac, et que tu tombes sur le résultat attendu, c'est que c'est bon ... pourquoi cela t'étonnes ?

    Citation Envoyé par Etile Voir le message
    En fait je voudrais savoir s'il était obligatoire d'associer une fonction test à la transformée de Fourier d'une distribution pour en retrouver le résultat.
    La TF des distributions font forcément appel à des fonctions tests parce qu'une distribution est une forme linéaire sur l'espace des fonctions tests.


    Citation Envoyé par Etile Voir le message
    Ma deuxième question est plus ambigüe, au sens ou je sais bien que le produit de deux distributions n'a normalement pas de sens, mais il est possible de démontrer que , où est une fonction test.
    Résultat, je me demandais quand est-ce qu'il était possible de considérer ce produit comme une distribution à part entière.
    J'avoue que je ne comprend pas tellement la question, et je ne pourrai pas te répondre. Sans doute ma maîtrise du problème est bancale. Si ta question est de savoir si la TF des deux termes dans donne un résultat qui est lui-même une distribution, je pense que oui.

  8. #7
    Etile

    Re : Distribution de Dirac

    Citation Envoyé par zapple Voir le message
    La TF des distributions font forcément appel à des fonctions tests parce qu'une distribution est une forme linéaire sur l'espace des fonctions tests.
    Donc la TF d'une distribution reste une distribution, c'est bien ça ?

    Merci.

  9. #8
    zapple

    Re : Distribution de Dirac

    Oui la TF d'une distribution est une distribution.

  10. #9
    GrisBleu

    Re : Distribution de Dirac

    Citation Envoyé par zapple Voir le message
    Je me suis trompé dans la défintion de la fonction de dirac , c'est plutot :

    Salut, je confirme, c est bien
    et on note, mais c et une notation,

    Comme le dit zapple, en general, la TF d'une distribution est une distribution.

    Un exemple de cas ou la "fonction de Dirac" ne mene pas loin est la TF d'un peigne. Si tu pars de TF(delta(t-T))=exp(-2i pi T), tu tombes sur une somme non convergente d'exponentielle. Tu peux quand meme bidouiller, en parlant d'exponentielle qui s'annule ou se renforce, mais quid des coefficients de proportionnalites ??
    Si tu travaille par contre proprement en faisant agir le TF sur une fonction test, ta somme sera convergente, et tu retombes assez vite sur un peigne.

    Voila, ce n est que mon experience, mais ca me semble plus utile et facile (si si) de travailler directement dans le bon formalisme

    ++

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