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Matrice d'une symétrie par rapport à un plan



  1. #1
    khi

    Unhappy Matrice d'une symétrie par rapport à un plan


    ------

    Salutations!

    J'ai appris aujourd'hui que je passe un oral d'algèbre lundi (les dates ont été faussées à la suite des greves des facs). Du coup, je me retrouve à faire plusieurs exercices pour ce week end.

    A première vue, il n'y a qu'un exercice qui me fera défaut.
    En voici l'énoncé:

    "Dans un R espace vectoriel de dim 3, rapporté à un système de coordonnées (xyz), on considère le plan P d'équation ax+by+cz=0 et le vecteur n (n'appartenant pas à P) de coordonnées (alpha,beta,gamma).
    Soit s la symétrie par rapport à P parallèlement à la direction n.
    Déterminer la matrice de s dans le repère considéré."

    Je dois dire que je ne sais plus quelle est la marche à suivre pour trouver la matrice. Si quelqu'un pouvait m'aider, je lui en serai reconnaissant!
    En attendant, j'ai du pain sur la planche pour préparer les 3 autres exos.

    Merci d'avance!

    -----

  2. #2
    haruspice

    Re : Matrice d'une symétrie par rapport à un plan

    Salut !
    Alors, avant de trouver la matrice dans la base initiale, tu peux l'exprimer dans une base particulière ou tu connais sa forme !

    En effet, si tu poses :





    On se débrouille pour prendre les deuxièmes et troisièmes vecteurs comme étant ceux engendrant le plan (attention il faut discuter des cas où a,b ou c=0 ....)
    Ils forment une famille libre. Comme par hypothèse, le premier vecteur n'est pas dans le plan tu as une famille libre de 3 vecteurs en dimension 3 : c'est une base !!!

    De plus la matrice de ta symètrie dans cette base est :


    En effet, le premier vecteur de base est envoyé sur son opposé car la symètrie lui est parallèle, les autres restent inchangés puisque la symètrie est par rapport au plan qu'ils engendrent.

    Tu n'as plus qu'à trouver la matrice de passage entre la base des epsilons et celle donnée par l'exo. En effet, ainsi tu pourras passer dans la bonne base en appliquant ta formule de changement de base !
    Plus près de 40 que de 0 ... fallait bien que ça arrive !!!

  3. #3
    khi

    Re : Matrice d'une symétrie par rapport à un plan

    Je te remercie beaucoup de ta réponse!
    Je vais pouvoir m'y mettre ^^

    En attendant, j'ai pu faire déjà 2 exos: 1 sur une intégrale un peu particulière, et 1 classique.

    Au fait, c'est peut-etre une question bete, mais comment as-tu fait pour utiliser les symboles mathématiques comme le signe "intégrale" ou les lettres "alpha, beta..." ?

  4. #4
    haruspice

    Re : Matrice d'une symétrie par rapport à un plan

    Pour les symboles mathématiques, quand tu écris un message, tu clique sur le logo TEX en haut à droite de toutes les possibilités d'écritures. Sa t'affiche deux balises et tu tapes en LateX au milieu, je ne m'y connais pas bien mais sur le net tu trouve tout le formalisme !

    Bonne chance !!!
    Plus près de 40 que de 0 ... fallait bien que ça arrive !!!

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