Détermiation de la matrice canonique d'une symétrie

[invite65d9a3d4]

Bonsoir,

notre prof de sup nous a demandé de déterminer la matrice canonique de la symétrie dans K^3 de base y=x et de direction x=y=2z.

J'ai appellé (x',y',z') l'image de (x,y,z) par la symétrie en question. Pour déterminer la matrice canonique, j'ai essayé de déterminer x',y',z' en fonction de x,y,z mais ce que j'obtiens me surprend..

J'utilise l'équation de la base (y=x) : (x,y,z) + (x',y',z') appartient à la base <=> y+y'=x+x'
Puis celle de la direction (x=y=2z) : (x,y,z)-(x',y',z') appartient à la direction <=> x'-x=y'-y=2(z'-z)

Si ce qu'il y a au-dessus est au correct, on a le système :

x'+x=y'+y
x'-x=y'-y=2(z'-z)

Si je ne m'abuse on obtient alors

x'=x
y'=y
z'=z

or je ne pense pas que ce soit la bonne solution..

Pourriez-vous m'aider à résoudre cet exercice en me donnant des indications ? D'avance merci.
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[cedbont]

Pourquoi ne calcules-tu pas l'image de chaque vecteur de la base canonique (e₁,e₂,e₃) ?
Si s est ta symétrie, alors :
s(e₁) = e₁
s(e₂) = e₂
s(e₃) = - e₁/2 - e₂/2 - e₃
Tu obtiens ta matrice !