Position d'une courbe par rapport à sa tangeante [TS]

[invite28e62528]

Salut
mon prof m'a proposé de réfléchir a cela (partie d'un exo d'un DS)

On veut étudier la position de la courbe C par rapport à sa tangente T
je vous donne tout d'abord les équations :

C:y=(1/3)(x²+x+1/x)
Tc:y=-(2/3)x-1

donc pour cela, on étudie le signe de l'équation de C moins l'équation de T soit :
cela revient à étudier le signe de yC-yT
qd yC supérieur à yT C est au dessus de T
qd yC inférieur à yT donc C est situé sous T


voila ou ca coince.
normalement vous trouvez
yC-yT=(x^3+3x²+3x+1)/3x

mais comment conclure là est la question ?

Je vous laisse y penser

A plus sur FSG
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[invite28e62528]

je sais pas si vous avez remarqué si vous tentez de représenter graphquement l'équation y=yC-yT vous trouvez une parabole qui n'en est pas une. C'est une remarque à exploiter je pense.
déja l'ensemble de définition exclu 0, c'est un début

[invite28e62528]

je pense avoir trouvé mais c'est pas sur. C'est en fait très simple, mais tout est dans la démonstration et la facon dont on présente les choses.

[mb019]

Bonsoir ,
Tu devrais peut etre derivé la fonction f(x)=(x^3+3x^2+3x+1)/3x en deduire le signe de la derivee ensuite en deduire les variation de f et qui sait avec un peu de chance en connaitre le signe =).

Ps: je ne l'ai pas fait c'est juste une piste.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite28e62528]

non en fait on rend le numérateur sous la forme (1+x)^3
c'est du hors programme ainsi on simplifie ce qui nous donne :
(1+x)²/3x + x+1/x
on en déduit la position de la courbe en disant que (1+x)² est toujours positif, cela revient à étudier le signe de x+1/x

[invite35452583]

non en fait on rend le numérateur sous la forme (1+x)^3
c'est du hors programme ainsi on simplifie ce qui nous donne :
(1+x)²/3x + x+1/x
on en déduit la position de la courbe en disant que (1+x)² est toujours positif, cela revient à étudier le signe de x+1/x

En quoi, c'est hors programme, reconnaître un cube ? non (même si dans la plupart des sujets il sera laissé un indice car somme toute assez inhabituel en lycée).
Ensuite, la simplification n'en est pas une !
D'abord c'est FAUX (1+x)²/3x+x+1/x vaut 0-1-1=-2 en x=-1 tandis que (1+x)³/3x vaut 0 au même x=-1. 5autre manière de le voir en un coup d'oeil, (1+x²)/3x+x+1/x va donner quelque chose en polynôme degré 2 (valant 2 en x=0 en outre) sur x contradictoire avec du polynôme en degré 3 (valant 1 en 0) sur x)
Ensuite en quoi le fait que (1+x)² soit toujours positif réduit l'étude du signe à celui de x+1/x. (Il y a un bel oubli du /3x qui va permettre de déterminer le signe sous cette forme il est vrai)
Pour l'étude d'un signe on cherche à mettre
i) soit sous la forme d'une somme de deux ou plusieurs expressions toujours du même signe et le même pour chacune d'entre elles, exemple (ne cherchons pas très loin) f(x)=(x+1)²/3x+x+1/x (qui ne vaut pas (x+1)³/3x mais on peut en chercher le signe tout de même) : les trois termes (x+1)²/3x, x et 1/x ont même signe que x (supposé non nul) donc f(x) qui en est la somme a toujours le signe de x, f(x)>0 pour x>0, f(x)<0 pour x<0.
ii) soit (et c'est plus courant) sous forme factorisée exemple : (x+1)³/3x !!! Un tableau de signe, qui n'est pas très difficile à faire si on a compris le principe de celui-ci, donne l'information voulue.
iii) soit étude analytique : dérivée (éventuellement dérivée de la dérivée...) tableau de variation après étude de signe de la dérivée...
Ici il faut laisser sous la forme (1+x)³/3x pour l'étude du signe, pourquoi chercher une autre forme quand celle disponible est adéquate pour répondre à la question posée ?

Au fait as-tu fait tracer la courbe et la tangente par ta graphique histoire d'avoir une idée du résultat à trouver (pas de résoudre le problème) ?

[invite28e62528]

Et bien, quelle agressivité !?
Je reformule donc car en effet j'ai expliqué le raisonnement d'une facon un peu trop simpliste, ... désolé monsieur homotopie de ne pas avoir été assez précis:
donc : on cherche le signe de yc-yt :
f(x)-((-2/3)x-1)
=(x^3+3x²+3x+1)/3x
=(x+1)^3/3x
REGARDEZ BIEN CETTE LIGNE EN DESSOUS
=((x+1)²/3)((x+1)/x)

(x+1)²/3 est positif donc f(x)-((-2/3)x-1) est du signe de (x+1)/x

D'après le tableau de variation (je vous laisse le faire)
f(x) est supérieur à (-2/3)x-1 sur ]-infini;-1[ et sur ]0;+infini[ donc C est au dessus de T

sur ]-1;0[ f(x) inférieur à (-2/3)x-1 C est en dessous de T

en -1 f(x)=(-2/3)x-1 C et T ont un point en commun

Voili Voilou, je pense que cette forme te plais bien homotopie

Cheers

[invite35452583]

Et bien, quelle agressivité !?

Le ton fanfaronnant a beaucoup contribué, j'espère que tu te rends compte que ce que tu exposes est évident pour beaucoup d'intervenants sur ce forum.

je pense que cette forme te plais

C'est nettement mieux bien sûr (mais plus compliqué, je trouve, que de rappeler tout simplement qu'un cube a³ est toujours du signe de a).
Pour info : ceci montre que la courbe de la fonction admet ce que l'on appelle un point d'inflexion en x=-1 (en langage imagée : "la courbe passe de l'autre côté de la tangente" au point de contact).

[invite28e62528]

et c'est cette notion de point d'inflexion qui est hors programme de Terminale S, je tenais à le signaler.

ps: ou sur le sujet type bac ce sera signalé ou aidé.