Recouvrir un convexe compact

[GuYem]

Bonjour.

Nous voilà dans un espace métrique E dans lequel une partie A est convexe et compacte. Nous avons également un à notre diposition.

Puisque A est compacte onpeut loger à l'intérieur de A seulement un nombre fini de boules (ouvertes) de rayon .

Prenons alors le nombre maximal de telles boules que l'on peut loger dans A.
Il semblerait qu'en doublant le rayon de ces boules l'on arrive à recouvrir la partie A toute entière.

(attention la convexité est importante pour ce recouvrement, si on ne l'a pas ça ne marhce clairement pas comme le voit en prenant A = [0,1] = {4} dans R et )

Voilà les questions
- le résultat est-il vrai?
- Une idée la démonstration? Même avec la boule unité ça nous ferait bien plaisir.
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[kaya31]

Salut,

Je suis pas sur d'avoir bien compris la question mais si c'est le cas, il y a un contre exemple simple dans le plan.
Il suffit d'imaginer une oeil pour cela ou l'iris serait ta boule unité et l'ensemble de l'oeil ton convexe compact A. En dessinant correctement l'oeil, tu ne peux y faire entrer que cette unique boule.
Et tu peux par contre étendre les bornes de A aussi loin que tu le souhaites. Donc meme en doublant le rayon de la sphere, point de recouvrement. Si tu fixes le rayon au depart, on peut toujours construire un contre exemple. Par contre, c'est pas impossible que pour tout convexe compact, on puisse obtenir un epsilon tel que ton resultat soit vrai.

[GuYem]

Oui ca parait bien comme contre exemple ce que tu dis là.

Seulement après quelques dessins sur un tableau je me dis qu'àvouloir étendre l'oeil comme tu dis on a perdre la convexité...a voir.

Dans le cas ou A est la boule unité ça semble marcher ; et puisque tous les compacts convexes lui sont homéomorphes je me disais que ça passerait.
Es-tu d'accord avec moi que ça marche pour la boule unité ?

[yat]

Es-tu d'accord avec moi que ça marche pour la boule unité ?

Si on prend , je pense qu'il restera une partie de A non recouverte.

[A voir en vidéo sur Futura]

[kaya31]

Oui ca parait bien comme contre exemple ce que tu dis là.

Seulement après quelques dessins sur un tableau je me dis qu'àvouloir étendre l'oeil comme tu dis on a perdre la convexité...a voir.?

J'ai pris l'image d'un oeil pour avoir une description visuelle de la chose.
En toute rigueur, tu prende la boule unité centré sur l'origine.
Et tu traces une ellipse centré qui admet l'axe des x et celui des y comme axe de symétrie. Tu fais passer cette ellipse en (0,1) et (0,-1) d'où deux points de tangence avec la boule unité sur l'axe des y.
Après suivant le paramétrage de ton ellipse, tu peux obtenir le point d'intersection avec l'axe des x aussi éloigné que tu le souhaites tout en conservant la convexité de l'intérieur de l'ellipse

Bien entendu, ce contre exemple est généralisable quelque soit le epsilon que tu choisis. Mais comme pour prouver l'invalidité du résultat, il suffit d'un unique contre exemple, le cas de la boule unité te suffit.
Cependant, je pense qu'une fois A (le convexe compact) posé, on doit pouvoir trouver un epsilon pour lequel ton résultat est vrai. Mais la démonstration doit tout de même être assez laborieuse.

[GuYem]

Tu as raison le résultat est faux.

J'ai tout simplement mal lu le problème!

EN fait les boules de départ ne sont pas forcées d'être incluses dans la partie ; il suffit que leur centre soit dans la partie.
A partir de là le résultat devient juste.

[kaya31]

D'accord, ca parait nettement plus logique.
Et quand tu parles du maximum de boules logeant dans A, je suppose que tu sous entends sans recouvrement entre ces boules...
Sinon le resultat est trivial.

En tout cas, je pense qu'en passant par un raisonnement par l'absurde et en utilisant la convexité, ca doit pas etre trop rude.
J'vais y reflechir en mangeant des petits pois tiens

Tiens nous au courant si tu trouves la dem avant stp.

[kaya31]

En fait il me semble que ca fonctionne meme sans la convexité...
On a A un compact et B1,...,Bn une famille maximale de boule de rayon epsilon sans recouvrement entre elles et telle que leurs centres c1,...,cn soient dans A.
Raisonnons par l'absurde et supposons que la famille des boules de centre c1,...,cn et de rayon 2*epsilon ne couvre pas totalement A.
Cela signifie qu'il existe un point C de A qui n'appartient a aucune d'elle et qui est donc distant de plus de 2*epsilon des points c1,...,cn. De ce fait, la boule B de centre C et de rayon epsilon n'intersecte aucune des boules B1,...,Bn et a son centre dans A.
D'ou la non maximalite de B1,...,Bn et donc une contradiction...

cqfd sans la convexité

A moins que j'ai buggé quelques part...
Qu'en penses tu ???

[GuYem]

Tu n'as pas buggé du tout. C'est bon comme ça.

C'est moi qui ai buggé au départ en croyant qu'il fallait que les boules soient incluses dans la partie. Comme ça ne marchait pas avec juste un compact, j'avais rajouté l'hypothèse convexe car je croyais (erreur encore) que ça marchait avec la boule unité. Yat montré le contraire.

Mais si on autorise les boules de départ à sortir de la partie alors tout marche bien comme tu l'as montré et sans supposer la convexité.