dimension d'un sous espace vectoriel

[invite69d45bb4]

bonjour à tous


soit E un K-espace vectoriel de dimension finie
tout sous espace vectoriel F de E est de dimension finie et:

dim F < ou egal à dim E


demonstration:

posons n=dim E .les famille libres de F sont des familles libres de E;elles ont donc au plus n elements.l'ensemble des cardinaux des familles libres de F est une partie non vide de N majorée par n ; il admet donc un plus grand element p.comme dans la premiere partie du theoreme 3 ("tout espace vectoriel de dimension finie possede des bases"), on en deduit l'existence d'une base de F à p elements.
donc dim F = p et dim F < ou egal à dim E.


je ne comprends pas la phrase " on en deduit l'existence d'une base de F à p elements donc dim F = p et dim F < ou egal à dim E ."


pouvez vous m'expliquez svp?


merci par avance
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[invite986312212]

"l'ensemble des cardinaux des familles libres de F est une partie non vide de N majorée par n": net et précis mais un style un peu pédant peut-être...

autrement, si une famille libre de F a au plus p éléments, cela signifie qu'une famille de (p+1) éléments est liée et donc que si u1,...,up est une famille libre maximale et u un vecteur quelconque de F, il existe (p+1) scalaire a1,...,a(p+1) non tous nuls tels que.... etc je te laisse finir.

[invite69d45bb4]

dsl
mais je ne comprends toujours rien .
peux tu m'expliquer plus en detail s'il te plait

[invitea6f35777]

Slt

Tu peux enlever la phrase qui te gène et remplacer par "et donc on en déduit l'éxistence d'une base à AU PLUS p éléments (car une base est une famille libre et que les familles libres de F ont au plus p éléments) et dim F est inférieur ou égale à p et donc inférieur ou égal à dim E.
La démonstration que tu cite n'est pas fausse mais lacunaire, elle ne dit pas pourquoi une famille libre ne peux pas avoir plus d'élément qu'une base.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite69d45bb4]

mais que represente alors l'ensemble des cardinaux des familles libres de F.

[invite986312212]

KerLannais a raison, puisque les familles libres ont moins de p éléments, les bases, à condtion d'admettre leur existence, ont aussi moins de p éléments. Néanmoins, je détaille ma démonstration, ça peut te servir : on retrouve le même schéma dans l'étude des extensions finies de Q par exemple.

Donc soit u1,...,up une famille libre maximale. On va montrer qu'elle est aussi génératrice, et donc une base. Si u est un élément de F, la famille (u,u1,..,up) n'est pas libre et donc il existe des scalaires a, a1,..,ap non tous nuls et tels que a*u+a1*u1+...+ap*up=0. Alors a n'est pas nul, car sinon on aurait une combinaison linéaire nulle des ui à coefficients non tous nuls. Il est donc inversible et u=a1/a*u1+...+ap/a*up, cqfd.

[invitea6f35777]

Je comprend pas ta question, l'ensemble des cardinaux des familles libres de F est simplement:
{1,2,...,p}
ou éventuellement
{0,1,2,...,p}
si on considère que la famille vide est une famille libre à 0 éléments. Il est parfaitement déterminé. L'ensemble des bases est l'ensemble des familles libres qui ont exactement p éléments.