bijectivité

[inviteb7283ac9]

Bonjour,
Je souhaite résoudre un problème :
Soient l'ouvert de
et le demi plan fermé de défini par y=0 et
i/ montrer que l'application définit, par restriction à , une bijection de f de sur \

Pour l'injectivité (en m'inspirant de résolution d'exercice déjà effectué):

il est clair que
de plus "par analogie avec le plan complexe" (ça c'est ma touche personnelle, ms j'trouve pas ça très rigoureux...,comment faire la transition avec les calculs qui suivent?)
d'où
Ainsi

or on se place sur d'où
D'où f injective

Pour la surjectivité, j'ai beaucoup plus de difficulté. Pourtant le résultat semble évident...comment faire cela?

Merci de votre aide
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[inviteb7283ac9]

Pour prouver la surjectivité, on pourrait s'amuser à résoudre:
(on cherche )
c'est-à-dire :

et regarder si il y a tjs une solution ds U

en théorie c'est possible, ms je n'y suis pas arrivé
Avez vous une autre méthode???
ou alors comment procéder pour résoudre le systeme?
Merci...

[KerLannais]

Slt,

pour l'injectivité ton argument est assez rigoureux mais peut-être que la rédaction n'est pas super. Si tu veux pas parler des complexes tu peux simplement dire que, comme:

et

alors

et comme et sont positifs on a et terminer la démonstration comme tu l'as fait.

Pour la surjectivité, tu prend un point de et tu dois trouver un antécédent dans , bien sûr tu prends "z=z" Ensuite tu pose . Comme

car , et comme est surjective de sur il existe au moins une valeur de telle que

En fait il en existe deux distinctes si qui se distinguent par le signe de leur cosinus, tu prends le tel que a le même signe que et tu vérifie que est bien un antécédent, c-a-d qu'on a bien

ce qui est le cas puisque:

car . C'est tout

[inviteb7283ac9]

Merci 1000 fois!
Je vais méditer tt ça, si par hasard j'ai un problème je te ferai signe, ms cela à l'air fort clair.
Merci encore

[A voir en vidéo sur Futura]