Partie entière

[invitef41b948b]

Bonjour a tous ,

svp aidez moi a démontrer ceci:

E(x)+E(x+y)+E(y) est inférieure ou égal à E(2x)+E(2y)
sachant que E(x) est la partie entière de x
svp au plus prés possible car c très important pour moi

merci d'avance
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[KerLannais]

Salut,

Remarque la chose suivante. Par définition, pour un nombre réel , la partie entière de est le plus grand entier inférieur ou égal à . En particulier l'entier suivant n'est donc pas inférieur ou égal à et on a

de sorte que si on note

la partie fractionnaire de alors

(en effet, il suffit de soustraire à chaque membre de l'inégalité précédente).
Si maintenant et sont deux nombres réels il est facile de montrer que

En effet, si alors est un entier inférieur ou égal à puisque

et tel que l'entier suivant est strictement supérieur à puisque

par hypothèse. Ainsi est bien la partie entière de et on a montré le premier cas. Si maintenant on ne suppose plus on a alors

(on a bien entendu puisque et )
L'entier est inférieur ou égal à puisque

et l'entier suivant est strictement supérieur à puisque

On a donc dans ce cas . Un corollaire immédiat de cette formule c'est qu'on a toujours

(la somme des parties entières est toujours plus petite que la partie entière de la somme)

Maintenant pour résoudre ton problème tu as juste à considérer deux cas.

Premier cas :
Dans ce cas

(puisque la somme des parties entières est plus petite que la somme on a et idem pour )

Deuxième cas :
Dans ce cas on a soit
, soit
(puisque si et alors et c'est contraire à l'hypothèse du deuxième cas).

Supposons par exemple que l'on ait

(l'autre cas étant parfaitement similaire, il suffit d'échanger et dans la démonstration qui suit)
On a alors

et donc d'après notre formule

On a également

(puisque par hypothèse )
On a alors

(puisque pour la même raison que précédemment)
On a donc bien montré que

[invitef41b948b]

Merci énormément et vraiment dsl pour ce retard je me suis pas connecté depuis quelque jours du au études !!

et encore merci cordialement !!