Interpolation de Hermite

invitebe08d051 · 09/10/2010, 20h16

Salut,

J'ai quelques problèmes dans le cadre de l'interpolation de Hermite:

Soient $\text{[math]}$ des éléments deux à deux distinct de $\text{[math]}$ , j'ai montré que $\text{[math]}$ forment une base de $\text{[math]}$ où $\text{[math]}$ est la forme linéaire qui à chaque polynôme $\text{[math]}$ associe $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ à chaque polynôme $\text{[math]}$ associe $\text{[math]}$ .

Il s'agit maintenant de trouver la base pré-duale de cette base, autrement dit il faut trouver $\text{[math]}$ polynômes $\text{[math]}$ vérifiant:

$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Pour les $\text{[math]}$ il suffit de prendre les polynômes utilisés dans l'interpolation lagrangienne, mais en revanche j'ai un peu de mal à exprimer les autres...

Un piste ??

Merci
Mimo

invite57a1e779 · 09/10/2010, 20h44

Il y a aussi les conditions :
$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

invitebe08d051 · 09/10/2010, 21h07

Envoyé par God's Breath

Il y a aussi les conditions :
$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

...Je ne vois pas pourquoi ???

La base duale est définit de façon à ce que:

$\text{[math]}$ .

Ici $\text{[math]}$ .

Donc on doit trouver $\text{[math]}$ polynômes $\text{[math]}$ tq:

$\text{[math]}$
et
$\text{[math]}$ .

Cordialement

invite57a1e779 · 09/10/2010, 21h17

Attention mimo13,

La relation $\text{[math]}$ , c'est $\text{[math]}$ lorsque $\text{[math]}$ , mais elle doit être satisfaite pour $\text{[math]}$ , pas seulement pour $\text{[math]}$ .

De même $\text{[math]}$ , c'est $\text{[math]}$ lorsque $\text{[math]}$ , qui doit être satisfaite pour $\text{[math]}$ , pas seulement pour $\text{[math]}$ .

Chaque vecteur de la base est soumis à 2n conditions par les 2n formes linéaires de la base duales, ce qui est particulier ici, c'est que ces 2n conditions se formulent en deux groupes de n conditions.

Dans tous les cas, tu connais pas mal de racines des polynômes $\text{[math]}$ , et tu as une condition sur le degré de ces polynôme : cela devrait te permettre de les déterminer.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invitebe08d051 · 09/10/2010, 22h15

Décidément...Moi et ce Hermite, on est pas prêt à s'entendre.

Je suis pratiquement d'accord avec toi God's Breath.

Mais si je suis ce raisonnement:

Examinons par exemple $\text{[math]}$ :

On a $\text{[math]}$ .

Et $\text{[math]}$ .

Donc tous les $\text{[math]}$ sont racines doubles de $\text{[math]}$ or son degrés ne dépasse pas 2n-1 !!!

invite57a1e779 · 09/10/2010, 22h19

Attention, il y a une des formes qui vaut 1 sur le polynôme $\text{[math]}$ .
Si c'est la forme $\text{[math]}$ , c'est que $\text{[math]}$ n'est pas racine de $\text{[math]}$ ; si c'est la forme $\text{[math]}$ , c'est que $\text{[math]}$ n'est que racine simple de $\text{[math]}$ .

invitebe08d051 · 09/10/2010, 22h29

Envoyé par God's Breath

Attention, il y a une des formes qui vaut 1 sur le polynôme $\text{[math]}$ .
Si c'est la forme $\text{[math]}$ , c'est que $\text{[math]}$ n'est pas racine de $\text{[math]}$ ; si c'est la forme $\text{[math]}$ , c'est que $\text{[math]}$ n'est que racine simple de $\text{[math]}$ .

Oui ca marche pour les $\text{[math]}$ mais dès que l'indice dépasse n aucune forme linéaire ne vaut 1 puisque de toute façon il n'y a que n scalaires $\text{[math]}$ .

Bref je laisse tomber.

(Je ne vais pas me casser la tête pour rien)

Merci God's Breath

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