polynomes de Hermite

[inviteae72e011]

on considere la fonction f(x)=exp(-x²)
je n arrive pas a prouver par recurrence que pour tout n superieur ou egal a 2
f^n (x) + 2xf^(n-1) (x) + 2(n-1)f^(n-2) (x) = 0
en deduire que f^n= exp(-x²)Pn (x) ou pn (x) est un polynome de deg n dont le monome du plus haut degre est (-2)^nx^n
j ai essaye de factoriser par la derivee nieme mais les n me bloquent
merci de votre aide precieuse
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[inviteae72e011]

escuser moi j ai oublier de vous dire bonjour
aidez moi svp je suis tres curieux de savoir la solution

[Coincoin]

Salut,
Qu'est-ce qui te bloque dans la récurence ?

[inviteae72e011]

premiere etape ca va en faisant P1 je trouve bien que f'(x)+2xf(x)=0
mais a la deuxieme etape en ayant bien sur suposer que P etait vraie pour tout n superier ou egal a 2 j arrive pas a 0. je factorise par f^n(x) mais le n me genent et me bloque voila
merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[matthias]

je factorise par f^n(x) mais le n me genent et me bloque voila

Je ne vois pas comment tu factorises. Ce ne sont pas des puissances mais des ordres de dérivation. Il suffit de dériver pour la récurrence.

[inviteae72e011]

ah ok mais commment je fais alors ??

[inviteae72e011]

je suppose que Pn est vraie pour tout n superieur ou egal a 2
maintenant Pn+1 ca donne
f^(n+1) (x) + 2xf^(n) (x) + 2nf^(n-1) ( x)
et la je vois pas comment prouver que Pn+1 = 0
....

[inviteae72e011]

c fait pas mal de temps que je cherche et franchement je trouve rien
svp help

[inviteae72e011]

SVP donnez moi des indices aidez moi

[nissart7831]

Salut,

tu dois bien montrer ta relation par récurrence.
Pour montrer que ta relation est vraie au rang (n+1), en supposant que ta relation est vraie au rang n, il suffit que tu exprimes la relation au rang n sous la forme :

f⁽ⁿ⁾(x) = -2xf^(n-1)(x)-2(n-1)f^(n-2)(x)

Et tu dérives chaque membre par rapport à x. Je te laisse finir.

[inviteae72e011]

ok merci beaucoup de ton aide
salut