Exposé sur les "Equations de Maxwell"

invite9d9c4317 · 02/03/2005, 19h28

Bonjour, je suis étudiant et j ai un exposé sur les équations de Maxwell a faire devant d autres étudiants. C est pour cela que je dois le faire d une facon compréhensible et surtout simple.
Voici mon plan, si vous connaissez des moyens de bien faire passer cela, j en prendrais note :

- L'historique sur Maxwell.
- Les opérateurs Vectoriels ( divergence, rotationnel ).
- et les 4 equations.

Si vous avez possibilité de faire passer images, schemas simples et applications concretes de ces équations.

APPEL A TOUS LES PHYSICIENS !!

**invite8c514936** · 02/03/2005, 19h47

Il faudrait que tu précises pour quels étudiants tu fais ça, ce que vous savez déjà, dans quel classe vous êtes, et quel objectif tu te donnes pour cet exposé : que voudrais-tu que quelqu'un qui sorte de cet exposé se rappelle une heure après...

**invite9c9b9968** · 02/03/2005, 20h31

une application concrète et hyper importante :

l'équation de Maxwell-Faraday décrit l'induction magnétique (tu pars de la description du rotationnel, tu fais Stockes dessus, en montrant bien que tu fais la circulation de E, qui n'est donc plus conservative, donc fem apparaît ... etc)

c'est à mon avis l'application la plus accessible et assez spectaculaire

invitea3fc981a · 02/03/2005, 20h57

Les fameuses équations de Maxwell... C'est vrai que les opérateurs divergence et rotationnel n'ont pas toujours été introduits par les profs de manière très claire, souvent ils apparaissent dans les équations, on connait leur expression mathématique, mais on ne sait pas physiquement à quoi ils se rattachent...

Tout d'abord, l'opérateur divergence, noté $\text{[math]}$ exprime la manière dont l'intensité d'un champ décroit sur sa ligne de champ ; ainsi dans les deux premières équations de Maxwell :

$\text{[math]}$

on voit que le champ électrique $\text{[math]}$ a une divergence qui dépend de la densité de charge qui en est l'origine, ainsi que de la permittivité électrique du vide, tandis que le champ magnétique $\text{[math]}$ a une divergence nulle : son amplitude est la même le long d'une ligne de champ. Cela est possible car $\text{[math]}$ est un vecteur "tournant" comme nous allons le voir.

Les deux autres équations de Maxwell sont un peu plus complexes à décrire "physiquement" :

$\text{[math]}$

En gros, elles montrent comment la variation des champs sont liées. Comme dit plus haut, le rotationnel, noté $\text{[math]}$ , du champ magnétique n'est pas nul, il dépend de la densité de courant $\text{[math]}$ (où $\text{[math]}$ est la densité de charges en mouvement, et $\text{[math]}$ leur vitesse), et de la variation temporelle du champ électrique. Prenons un exemple : le fil infini, soumis à un courant I ; le fil est toujours globalement neutre (donc $\text{[math]}$ ), en revanche la densité de courant n'est pas nulle : on va donc voir apparaître un champ magnétique $\text{[math]}$ "tournant" autour du fil. Les lignes de champ seront des cercles autour du fil, et le long de ces lignes le champ magnétique a bien toujours la même norme : sa divergence est nulle, conformément à la loi décrite tout à l'heure.

S'il y avait une chose à retenir de ces lois, une chose simple, je dirais que c'est la suivant : la variation d'un champ électrique induit un champ magnétique, et inversement. C'est assez simple à comprendre, même si les équations font toujours peur aux étudiants au premier abord.

Remarques :
(1) Les équations ci-dessus sont celles du champ électromagnétique dans le vide ; elles utilisent la permittivité électrique du vide $\text{[math]}$ , la perméabilité magnétique $\text{[math]}$ définies telles que $\text{[math]}$ . Ailleurs que dans le vide il faudra bien sûr réécrire ces équations avec les constantes appropriées.

(2) Ce post est issu de ma propre compréhension des phénomènes décrits par James Clerk Maxwell ; il n'engage que moi, et j'espère y avoir fait le moins d'erreur possible... J'ai encore beaucoup de mal avec Latex, donc une erreur peut vite arriver, veuillez m'en excuser !

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invite9d9c4317 · 02/03/2005, 20h59

Je suis en 2 ième année de prépa à l'insa de lyon.
Nous avons quelques bases sur le magnétisme: induction,biot et savart,théorème d'ampère...
notre objectif est plus de découvrir de façon simple et intuitive ces équations avec des applications concrètes.

invite9d9c4317 · 02/03/2005, 21h08

merci konrad pour tes infos très précieuses...
c'est exactement ce style de renseignement que nous recherchons.
il nous faudrait maintenant quelques exemples d'applications simples comme ton fils.

invite7ce6aa19 · 02/03/2005, 21h17

Envoyé par mayeuss

Je suis en 2 ième année de prépa à l'insa de lyon.
Nous avons quelques bases sur le magnétisme: induction,biot et savart,théorème d'ampère...
notre objectif est plus de découvrir de façon simple et intuitive ces équations avec des applications concrètes.

En principe en en 2ième année INSA on suit un cours d'électromagnétisme et ça prend un certain temps. Quel est l'objectif de ton exposé par rapport a un éventuel cours?
Pour faire un exposé court sur les équations de Maxwell en 1H il faut me semble-t-il avoir un certain recul que tu n'as pas puisque tu es étudiant.

Ce qui pourrait être utile dans ton cas serait de faire un exposé a caractère historique montrant la synthèse progressive qui se fait entre électricité magnétisme et optique et aller jusqu'a souligner les propriétés d'invariance vis a vis des transformations de Lorentz ce qui mettrait ton exposé au seuil de la relativité restreinte.

invite14ea0d5b · 02/03/2005, 21h24

Envoyé par Konrad

on voit que le champ électrique $\text{[math]}$ a une divergence qui dépend de la densité de charge qui en est l'origine, ainsi que de la permittivité électrique du vide, tandis que le champ magnétique $\text{[math]}$ a une divergence nulle : son amplitude est la même le long d'une ligne de champ. Cela est possible car $\text{[math]}$ est un vecteur "tournant" comme nous allons le voir

Désolé, mais c'est plus ou moins n'importe quoi ça...

la divergence du champ électrique en un point P dépend de la densité de charge électrique en P et pas de la densité de la source du champ. (le fait que la divergence du champ él. soit nulle quand il n'y a pas de charge découle de la nature en 1/r^2 du champ él.)

Une divergence nulle ne veut pas dire que l'amplitude est la même le long de la ligne de champ mais alors plutot qu'elle varie peu, et encore... et plutot que de dire que c'est parce que B est "tournant" on peut plutot faire une analogie avec le champ électrique et partir du principe qu'il n'exsite pas de monopôles magnétiques.

**erik** · 02/03/2005, 21h39

Bon je suis pas sur que tu puisses placer ça : http://www.entersci.com/max/Eq4.html dans ton exposé (c'est en anglais, il faut impérativement realplayer), mais moi je trouve ça rigolo.

Erik

invitea3fc981a · 02/03/2005, 23h32

Envoyé par Korgox

la divergence du champ électrique en un point P dépend de la densité de charge électrique en P et pas de la densité de la source du champ. (le fait que la divergence du champ él. soit nulle quand il n'y a pas de charge découle de la nature en 1/r^2 du champ él.)

J'avoue avoir été un peu vite, en voulant vulgariser, dans ma tête je m'imaginais une source ponctuelle de charges... auquel cas $\text{[math]}$ représente en quelque sorte la "décroissance" de $\text{[math]}$ . Si on prend l'exemple d'un condensateur plan idéal, le champ électrique est le même en tout point et on a bien une divergence nulle (ainsi qu'un rotationnel nul d'ailleurs).

Envoyé par Korgox

Une divergence nulle ne veut pas dire que l'amplitude est la même le long de la ligne de champ mais alors plutot qu'elle varie peu, et encore... et plutot que de dire que c'est parce que B est "tournant" on peut plutot faire une analogie avec le champ électrique et partir du principe qu'il n'existe pas de monopôles magnétiques.

Là désolé, mais une divergence nulle signifie bien que si l'on suit la ligne de champ, sa valeur reste la même. Dans le cas d'une source ponctuelle de charges, le champ électrique a une décroissance en 1/r² et si on se déplace selon r (qui est la direction de la ligne de champ) on trouve une divergence non nulle.

En revanche, encore une fois j'ai voulu aller trop vite : le champ magnétique n'est pas toujours "tournant". Si on prend une bobine infinie parcourue par un courant, le champ magnétique à l'intérieur de la bobine sera dirigé suivant l'axe de celle-ci (et aura la même valeur en tout point d'une droite parallèle à l'axe), et il aura une divergence ET un rotationel nuls. Le rotationel d'un vecteur est un vecteur, qui indique qu'un champ "tourne" en quelque sorte.

Désolé pour mes petites bourdes, il faut savoir que j'essaye de vulgariser ici, ce qui n'est pas toujours un exercice évident, surtout sur un forum... Le mieux est encore d'en discuter.

**invite8c514936** · 02/03/2005, 23h45

Désolé pour mes petites bourdes, il faut savoir que j'essaye de vulgariser ici, ce qui n'est pas toujours un exercice évident, surtout sur un forum... Le mieux est encore d'en discuter.

T'inquiète pas pour ça, plus on dit de choses, plus on s'expose à des inexactitudes et tu as bien raison, on est là pour en discuter !!

: bien

: pas bien

invite14ea0d5b · 03/03/2005, 07h55

Envoyé par Konrad

Là désolé, mais une divergence nulle signifie bien que si l'on suit la ligne de champ, sa valeur reste la même. Dans le cas d'une source ponctuelle de charges, le champ électrique a une décroissance en 1/r² et si on se déplace selon r (qui est la direction de la ligne de champ) on trouve une divergence non nulle.

Salut,

la notion de divergence est infinitésimale, du moins celle de la forme différentielle de l'éq. de Maxwell, et "isotrope" (c'est comme ça qu'on dit ?) tu ne peux pas regarder la divergence dans un certain sens, ça n'a pas de sens

Je dirais d'ailleurs que la divergence nulle malgré la décroissance en 1/r^2 est précisément l'idée pour passer entre la forme différentielle et intégrale de l'équation de maxwell...

(1) excuse-moi d'être entré en matière un peu trop méchament le post d'avant, alors qu'en plus t'étais humble dans tes explications...
(2)là je mettrais bien le smiley bière mais je sais pas comment on fait pour les smileys ^^ help !

invite9d9c4317 · 03/03/2005, 09h24

OKi, merci pour toutes ces explications et exemples. Je pense que la divergence et le rotationnel seront bien expliqué, de toute facon, on mettra les formules avec une explications physique sur des schemas, j en ai deja deux trois, mais si vous en avez, je prends

Pour les 4 equations, j ai juste a placé une petite explication qui comme vous me l avez dit, le couplage entre le le champ magnétisme et electrique.
Pour le power point, j ai eu l idée de faire dans le style des vieux films noir et blanc, je pense que ça risque de le faire. quelques idées????

**invite9c9b9968** · 03/03/2005, 09h29

le mieux pour faire comprendre physiquement est de passer des équations locales aux formes intégrales, ce qui permet de parler du flux (le flux magnétique est par exemple le même le long d'un tube de courant) et de la circulation (associé pour le champ électrique à la différence de potentiel, et aux notions de fem)

Pour cela il suffit juste d'introduire dans ton exposé les théorèmes de Stockes et Green-Ostrogradsky

invite0bbfd30c · 03/03/2005, 09h59

Envoyé par Konrad

une divergence nulle signifie bien que si l'on suit la ligne de champ, sa valeur reste la même. Dans le cas d'une source ponctuelle de charges, le champ électrique a une décroissance en 1/r² et si on se déplace selon r (qui est la direction de la ligne de champ) on trouve une divergence non nulle.

Ceci n'est pas juste, Korgox a raison. La divergence dans un problème 3D ne peut pas être évaluée selon une seule direction, ça n'a pas de sens. Une divergence nulle t'indique la conservation du flux du champ le long d'un tube de champ, pas autre chose. Un exemple simple est le champ magnétique produit par une spire circulaire parcourue par un courant continu. Tu peux suivre n'importe quelle ligne de champ passant près du centre de la spire, tu as bien div B = 0 et pourtant l'amplitude du champ varie énormément le long de la ligne de champ.

invite9d9c4317 · 03/03/2005, 10h25

Mais pour une bobine infinie, les lignes de champs au centre de cette bobine parcouru par un courant sont bien uniforme, enfin avec un div B=0. Elles ont bien la meme direction, ne tourne pas =>rot B=0 et ne varient pas, vrai? ou j ai besoin d explication...

invite0bbfd30c · 03/03/2005, 10h52

Envoyé par mayeuss

Mais pour une bobine infinie

Qu'appelles-tu une bobine infinie? Un solénoïde infini ou une spire de rayon infini? Par ailleurs, il suffit d'un contre-exemple pour réfuter une proposition, c'est juste ce que j'ai fait au-dessus.

invite7ce6aa19 · 03/03/2005, 11h32

A propos de la notion de divergence.

L'idée est simple, elle dit:

Que tout ce qui entre d'un volume moins tout ce qui sort du volume = tout ce qui reste a l'intérieur du volume.

Exemple1: Le matin a 9H un flux de personnes rentre dans un magasin (c'est le volume), la divergence est positive. ensuite dans la journée il y en moyenne autant de gens qui rentre que ceux qui sort la divergence est nulle. enfin en fin de soirée les personnes sortent mais personne ne rentre la divergence est négative.

Exemple 2: On peut faire le même raisonnement que ci-dessus avec un flux liquide

Exemple 3: divE= rho

C'est une equation locale qui est écrite en chaque point. A chaque point où il n'y a pas de charges divE=0 veut dire que l'integrale du flux =0 (tout ce qui rentre égal tout ce qui sort). Là où il y des charges il y une source (ou un puit) d'un nouveau champ qui s'ajoute localement aux autres champs du aux sources "lointaines".

Exemple 4 : divB=0

Dans ce cas il n'y a pas de sources de champ magnétique ce qui veut dire que les lignes de champ magnétiques se ferment sur elles-mêmes.

Remarque: pas de sources ne veut pas dire cause d'une champ magnétique. Le champ magnétique a pour cause le courant tel que rotB=J

invitea3fc981a · 03/03/2005, 21h56

Je suis entièrement d'accord avec vous : la divergence est exprimée localement, en chaque point de l'espace. Ce que je voulais dire en la liant avec la "décroissance" (ou la croissance) du champ électrique, c'est qu'elle s'exprime bien comme la somme des dérivées des composantes du champ :

$\text{[math]}$

La divergence prend donc bien en compte les variations de $\text{[math]}$ dans l'espace, le flux comme vous l'avez remarqué très justement. Maintenant, suivez mon petit raisonnement : prenons une distribution ponctuelle de charges, c'est-à-dire une charge Q placée au point O. En O la divergence sera non-nulle ; maintenant si on englobe un volume $\text{[math]}$ de plusen plus grand contenant cette charge, la divergence va diminuer car la densité $\text{[math]}$ va diminuer. Maintenant, si on prend une distribution de charges homogène et isotrope (pas de charges ponctuelles), alors la divergence de $\text{[math]}$ sera la même en tout point de l'espace, et elle ne sera pas nulle bien qu'il n'y ait aucun flux de charges... En fait pour simplifier les choses, je voulais relier la divergence à la variation locale de $\text{[math]}$ (un peu comme le gradient est un vecteur relié à la variation d'une fonction dans l'espace), mais vous avez raison : il vaut mieux dire que c'est une somme des variations du flux du champ à travers les parois d'un volume infinitésimal, et la lier à la densité de charges présentes dans ce volume infinitésimal.

La vulgarisisation n'est décidément pas un exercice facile, et la divergence n'est pas physiquement simple à se représenter... En attendant, j'avoue avoir été à côté de la plaque en parlant des lignes de champ.

invitea29d1598 · 04/03/2005, 12h37

Envoyé par Konrad

En O la divergence sera non-nulle

pour une particule ponctuelle elle est même infinie...

maintenant si on englobe un volume $\text{[math]}$ de plusen plus grand contenant cette charge, la divergence va diminuer car la densité $\text{[math]}$ va diminuer.

faux. Le $\text{[math]}$ qui intervient dans l'équation est un champ scalaire. Il faut lire l'équation $\text{[math]}$

où le $\text{[math]}$ désigne un point donné. En clair, ce que tu dis serait vrai si c'était une densité moyenne qui intervenait. Or c'est une densité locale. Donc la divergence est strictement nulle en tout point où il n'y a pas de charge électrique. Le volume considéré n'intervient pas car c'est une expression strictement locale. Pour préciser (au risque de continuer à répéter des choses déjà dites dans les messages précédents), en un point donné vide de charge, la divergence du champ est toujours nulle et ça dépend pas de ce qui se passe ailleurs. Mais dire que la divergence est nulle ne te dit pas tout sur le champ $\text{[math]}$ . Pour réellement connaître celui-ci, il est nécessaire de connaître la configuration de charges ailleurs. C'est ça qui détermine réellement le champ électrique.

d'un point de vue mathématique, les charges peuvent être vues comme les "conditions limites" nécessaires pour intégrer l'équation divergence de E = 0 dans le vide.

et pour répéter encore une fois ce qui se passe avec la charge ponctuelle, en clair, tu as divergence = infini là où est ta charge ponctuelle, et divergence nulle partout ailleurs.

Maintenant, si on prend une distribution de charges homogène et isotrope (pas de charges ponctuelles), alors la divergence de $\text{[math]}$ sera la même en tout point de l'espace, et elle ne sera pas nulle bien qu'il n'y ait aucun flux de charges...

avec une charge ponctuelle isolée fixe, tu n'as pas un "flux de charge"... un flux de charge est ce qui correspond au passage au travers d'une surface d'un vecteur $\text{[math]}$ de transport des charges.

**Heimdall** · 04/03/2005, 12h58

salut !!!

Je profite de ce thread pour faire partager a ceux qui ne connaissent pas un EXCELLENT document sur les "techniques de présentation"

comment faire une conférence ?
comment intéresser son auditoire ?
comment faire des transparents ?
quel matériel utiliser ?
quels sont les trucs à penser ?

etc etc etc...

superbe doc

vous pouvez le prendre ici

il s'agit du 1er lien.

a+++

**invite9c9b9968** · 04/03/2005, 13h57

d'ailleurs, pour compléter ce que dis Rincevent, se méfier énormément de la formule $\text{[math]}$ : ce n'est pas parce que vous connaissez le potentiel V en un point que vous pourrez en déduire le champ E, ou vice-versa ; car cette formule nécessite de connaître la forme locale du champ électrique (ou du potentiel) et non uniquement sa valeur en 1 point : c'est l'analogue de la notion de dérivée en maths (logiquement puisque le gradient est une dérivée partielle), ce n'est pas parce que l'on connaît f(1) que l'on en déduit f'(1).

En maths cela paraît évident, mais bien souvent les élèves tombent dans le piège en physique...

invitea3fc981a · 04/03/2005, 16h12

OK... Merci pour ces précisions Rincevent, j'y vois plus clair maintenant !

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