calcul d'un déterminant

[invite371ae0af]

bonjour,
si je considère la matrice A suivante:
1 2
3 4

je sais calculer le déterminant mais j'aimerai voir comment le calculer en utilisant la formule en détail)
http://upload.wikimedia.org/math/2/3...0e4078b339.png


merci de votre aide
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[invite899aa2b3]

On n'a que deux permutation : l'identité et celle qui permute et . La signature de la première est , celle de la seconde est . Le produit associé à la première est , et celui associé à la seconde .

[invite371ae0af]

pourquoi y-a-t-il une permutation qui permute 1 et 2? et pourquoi parles tu de l'identité?
si j'avais la matrice:
1 2 3
4 5 6
7 8 9
on aurait fais comment avec les permutation? et comment trouves-t-on les transpositions?

[invite899aa2b3]

Il faut bien faire la somme sur toutes les permutations du groupe symétrique, ici à deux éléments.
Dans le cas de la matrice à trois éléments, on peut encore utiliser la formule avec les permutations, mais c'est lors. Il faut énumérer les 6 permutations du groupe symétrique à trois éléments, calculer les signatures et enfin sommer les produits associés. Plus l'ordre de la matrice est grand et moins cette formule est efficace (aux ordre deux et trois ça donne des trucs pas trop méchants, mais pour l'ordre 4 c'est déjà fastidieux). En fait, c'est un peu comme la formule qui définit le nombre dérivé en un point : on s'en sert pour montrer les propriétés de la dérivation et son comportement vis-à-vis des opérations de composition, et si on te donne une fonction à dériver, tu ne vas pas commencer par utiliser la formule avec les taux d'accroissement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite371ae0af]

en faite ce que je comprend pas dans cette formule
c'est comment on trouve les permutations?

[invite899aa2b3]

Je ne comprends pas ce que tu ne comprends pas. On fait la somme sur toutes les bijections de l'ensemble {1,...,n} dans lui-même. Il faut toutes le énumérer, et il y en a n!, ce qui fait beaucoup à partir de n=4, en tout cas trop pour la patience de la majorité des personnes. Pour {1,2} par exemple, on a le choix : soit la permutation laisse 1 à sa place, et dans ce cas 2 doit aussi rester à sa place (il faut une bijection), soit 1 est transformé en 2, et dans ce cas 2 doit être transformé en 1.

[invite371ae0af]

justement pourquoi peut on transformer 2 en 1 ou laisser 2 fixe.
par exemple si je reprend une matrice diagonale de taille nxn
comment faire pour montrer que sont déterminant est le produits des éléments diagonaux en utilisant la formule du déterminant?
si je prend ce que tu dis, la permutation peut envoyer 0 sur 0, dans ce cas le produit doit être nul et le déterminant aussi?
de plus, si elle est de taille n, ne faudrait il pas discuter suivant n pair ou n impair pour connaitre la signature?