Somme de racines nièmes de l'unité et résolution de a*conj(z) + b = z (DM)

[invite427a7819]

Bonjour à tous ! Je vais commencer par vous présenter mes excuse, je n'ai pas cherché de logiciel permettant d'afficher des symboles mathématiques, du coup, ça risque d'être pas top pour me lire. J'utilise des expressions similaires à celles de Maple.

J'ajoute que je suis en début de MPSI. Donc, je connais le programme de première, de terminale, et le chapitre sur les complexes en MPSI.


Voilà mes problèmes :

On pose w_n = e^{2* i * Pi / n}, une racine n-ième de l'unité, et p un entier naturel.

On veut montrer : sum(w_n^{(k + p)²}, k = 0 .. n-1) = sum(w_n^k², k = 0 .. n-1). Pour cela, ils nous proposent de poser p=n*q + r la division euclidienne de p par n.

Je l'ai fait, et j'arrive alors à démontrer sum(w_n^(k+p)², k = 0 .. n-1) = sum(w_n^{(k + r)²}, k = 0 .. n-1). Au delà... Ca me rappelait vaguement l'algorithme d'Euclide, mais dans la mesure ou la deuxième division se ferait sur r et pas sur n (et aussi qu'elle ne permettrait pas d'avoir des simplification de w_nⁿ = 1), donc je me retrouve un peu comme deux ronds de flan.

Juste avant, ils m'ont fait calculer sum(w_n^k*p, k = 0 .. n-1), avec p un entier relatif. J'ai essayé de m'en servir, mais je n'arrive pas à isoler de terme de la forme w_n^{k * constante} dans la somme. Je ne peux pas non plus la séparer (puisque j'ai des produits à l'intérieur).


Ensuite, on étudie les transformations du plan d'écriture complexe f(z) = a*conj(z) + b (où conj(z) est le conjugué de z).
Pour |a| != 1 et a != 0, on doit montrer que la transformation admet un unique point fixe d'affixe w, ce qui se traduit facilement en w = a*conj(w) + b. Encore une fois, je suis à sec d'inspiration : je vois mal comment factoriser la chose (idéalement, par quelque chose du ton de 'a' ou ' |a| - 1).

Voilà voilà, si vous pouviez me dépanner sur ces sujets, bah... Ca me dépannerait bien ^^ Au passage, si vous connaissez un logiciel gratuit qui traduise des expressions mathématiques en symboles (éventuellement sous format PNG) je suis intéressé.

Merci d'avance !
Elwyr.
-----

[inviteea028771]

a et b sont des réels ou des complexes dans ta seconde question?

Sinon, dans tout les cas, j'écrirai w=x+iy, et on se retrouve avec une équation facile à résoudre (équivalente à un système de 2 équations linéaires à 2 inconnues)

[invite427a7819]

a et b sont complexes. C'est d'ailleurs ce qui me décourage de passer à la forme algébrique : pour pouvoir identifier correctement, je dois passer a et b sous forme algébrique, et là, je n'ai aucune information sur leurs parties réelles et imaginaires.

Du coup, si x_a et y_a sont les parties réelles et imaginaires de a, j'ai :

x*(x_a -1) + y_a * y = Re(b)
x*y_a - y*(x_a + 1) = Im(b).

Pour isoler x ou y, je dois donc vérifier que x_a != 1 ou -1 (selon dans quelle équation je l'isole) et y_a != 0, ce qu'au fond je ne sais pas... Ca me paraît plutôt lourd, d'autant plus qu'on effectue déjà une dichotomie (avec |a| != 1, traité ici, et |a| = 1 qui est traité dans la question d'après).

[invite427a7819]

Rah. J'ai un peu de mal avec mes manières.

Je te remercie pour ta réponse, Tryss, qui d'ailleurs s'avère beaucoup plus efficace que ce que j'imaginais au premier abord.

On m'a aussi indiqué comment démontrer l'autre résultat par une récurrence sur p, sans me servir de la division euclidienne (tant pis, je suppose ^^).

Cordialement,
Elwyr.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite14e03d2a]

Ensuite, on étudie les transformations du plan d'écriture complexe f(z) = a*conj(z) + b (où conj(z) est le conjugué de z).
Pour |a| != 1 et a != 0, on doit montrer que la transformation admet un unique point fixe d'affixe w, ce qui se traduit facilement en w = a*conj(w) + b. Encore une fois, je suis à sec d'inspiration : je vois mal comment factoriser la chose (idéalement, par quelque chose du ton de 'a' ou ' |a| - 1).
Elwyr.

Salut,

une solution sans utiliser les parties réelles et imaginaires:
Supposons qu'on ait un point fixe z. Donc . On conjugue cette expression et on obtient . En injectant la première relation dans la seconde, on obtient . Comme est différent de 1, cette dernière équation a une unique solution .

On a donc montré que SI f admet un point fixe, alors c'est forcément . On a donc unicité du point fixe, s'il existe (a priori rien ne garantit son existence, puisqu'on a travaillé par implication). Pour montré l'existence du point fixe, il suffit de vérifier que .

Cordialement

[invite14e03d2a]

On pose w_n = e^{2* i * Pi / n}, une racine n-ième de l'unité, et p un entier naturel.

On veut montrer : sum(w_n^{(k + p)²}, k = 0 .. n-1) = sum(w_n^k², k = 0 .. n-1). Pour cela, ils nous proposent de poser p=n*q + r la division euclidienne de p par n.

Je te propose une solution mais je ne sais pas si cela te convient (tu as l'air d'avoir des questions intermédiaires pour montrer ton égalité et je ne m'en servirai pas):

Je note w au lieu de w_n pour alléger les notations. On pose . On veut alors montrer pour tout p (i.e. la suite ) est constante.

Or, on a . Mais (puisque ). Donc est bien constante égale à .

Cordialement

[invite427a7819]

C'est effectivement une solution plutôt jolie, je dirais même hyper classe.

Merci à tous deux pour votre aide.