Sommes des n racines nièmes de 1?

[invitefa2121b1]

Bonjour,

Voilà, je me suis aperçu que la somme des n racines(complexe) nième de 1 -- ou plus simplement, la somme des éléments de -- est nulle pour n>=2.
(On s'aperçoit que l'on peut considérer chaque complexe comme un vecteur, et que la somme vectoriel est nul)

Donc, je suis bien content d'avoir remarquer ce petit détaille inutile, mais j'ai aussi remarqué ne pas savoir comment le démontrer.

Quelqu'un pourrait-il me proposer une démonstration?
-----

[Seirios]

Bonjour,

Les racines n-ième de l'unité s'écrivent sous la forme , avec . Et tu peux remarquer que leur somme est la somme des termes d'une suite géométrique ; en simplifiant l'expression de la somme, tu trouves directement 0 en utilisant la définition d'une racine n-ième de l'unité.

[inviteaf1870ed]

Tu peux aussi considérer le polynôme X^n-1 : la somme des racines est le coeffcient de X^n-1, qui est nul.
Cela t'évite tous les calculs

[invitefa2121b1]

Bonjour,

Les racines n-ième de l'unité s'écrivent sous la forme , avec . Et tu peux remarquer que leur somme est la somme des termes d'une suite géométrique ; en simplifiant l'expression de la somme, tu trouves directement 0 en utilisant la définition d'une racine n-ième de l'unité.

Effectivement, je n'y avais pas penser.

Tu peux aussi considérer le polynôme X^n-1 : la somme des racines est le coeffcient de X^n-1, qui est nul.
Cela t'évite tous les calculs

Tu veux dire le polynôme et dont la somme des racines serait le coefficient de ?
Si c'est bien ça, pourquoi la somme des racines de ce polynôme est le coefficient de ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Pour un polynôme de degré n de coefficients et de racines , et en notant , tu as .

[inviteaf1870ed]

Tu veux dire le polynôme et dont la somme des racines serait le coefficient de ?
Si c'est bien ça, pourquoi la somme des racines de ce polynôme est le coefficient de ?

La somme des racines d'un polynôme unitaire est l'opposé du coefficient de X^n-1.
Suppose que a1,a2....an sont les racines de P. Il s'écrit alors (X-a1)(X-a2).....(X-an). Regarde maintenant le coefficient de X^n-1, c'est -(a1+a2+......an)

[invitefa2121b1]

La somme des racines d'un polynôme unitaire est l'opposé du coefficient de X^n-1.
Suppose que a1,a2....an sont les racines de P. Il s'écrit alors (X-a1)(X-a2).....(X-an). Regarde maintenant le coefficient de X^n-1, c'est -(a1+a2+......an)

Ok merci, j'ai compris.