Les racines Nièmes de 2 sont elles irrationnelles ?

[invite060a6bcf]

Bonjour,

Nous savons que la racine carrée de 2 est irrationnelle.
Mais qu’en est il de la racine cubique et plus généralement des racines Nièmes de 2 pour N>2 ?
Sont elles toutes irrationnelles, comme semble le démontrer la « démonstration par les descentes infinies ».

- Si 2^1/N (N> ou = 2) est rationnel alors il existe A et B appartenant à Z tel que
A/B = 2^1/N => A=2^1/N * B => A^N = 2*B^N

Donc A^N est pair donc A est pair et peut s’écrire sous la forme A=2*K (avec K<A) => A^N=2^N * K^N

2^N * K^N = 2 * B^N => B^N = 2^N-1 * K^N = 2*(2^N-2 * K^N)
Donc B^N est pair donc B est pair et peut s’écrire sous la forme
B=2* K(1) (avec K(1)<B) => B^N=2^N * K(1)^N

2^N * K(1)^N = 2^N-1 * K^N => K^N = 2 * K(1)^N

Donc K est pair ......
Et ainsi successivement démontrant que si A=2^1/N * B alors il existe une infinité de K ,K(1) ,K(2) etc < à A et B et vérifiant l’égalité ce qui est une impossibilité.

On retrouve la démonstration habituelle de l’irrationalité de 2^1/2 mais comme je ne l’ai jamais vue étendue à 2^1/N je crains qu’il n’y ait une erreur dans la démonstration ci-dessus.

Merci de vos commentaires.
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[invitec7c23c92]

Bonjour,
effectivement toutes les racines n-ièmes de 2 sont irrationnelles, et la démonstration est correcte.

Plus généralement, la racine p-ième d'un entier q (avec p>1 et q>1) est toujours irrationnelle, sauf si q est la puissance p-ième d'un entier.

[martini_bird]

Salut,

la démonstration s'adapte bien en effet.

On peut la reformuler en supposant que avec p et q premiers entre eux. Alors donc q est pair, q=2q' puis donc p est pair, contradiction.

Cordialement.

EDIT : croisement avec telchar.

[invite060a6bcf]

Plus généralement, la racine p-ième d'un entier q (avec p>1 et q>1) est toujours irrationnelle, sauf si q est la puissance p-ième d'un entier.

Merci à vous et martini_bird pour vos réponses.
J'allais justement poser la question pour les racines N-ièmes de 4, et donc 4^1/N est irrationnel sauf pour N=2, ce qui est logique.

Je peux donc dire que pour N>2 2^2/N est irrationnel.

Merci encore

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite58633955]

Bonjour,

Nous savons que la racine carrée de 2 est irrationnelle.
Mais qu’en est il de la racine cubique et plus généralement des racines Nièmes de 2 pour N>2 ?
Sont elles toutes irrationnelles, comme semble le démontrer la « démonstration par les descentes infinies ».

- Si 2^1/N (N> ou = 2) est rationnel alors il existe A et B appartenant à Z tel que
A/B = 2^1/N => A=2^1/N * B => A^N = 2*B^N

Donc A^N est pair donc A est pair et peut s’écrire sous la forme A=2*K (avec K<A) => A^N=2^N * K^N

2^N * K^N = 2 * B^N => B^N = 2^N-1 * K^N = 2*(2^N-2 * K^N)
Donc B^N est pair donc B est pair et peut s’écrire sous la forme
B=2* K(1) (avec K(1)<B) => B^N=2^N * K(1)^N

2^N * K(1)^N = 2^N-1 * K^N => K^N = 2 * K(1)^N

Donc K est pair ......
Et ainsi successivement démontrant que si A=2^1/N * B alors il existe une infinité de K ,K(1) ,K(2) etc < à A et B et vérifiant l’égalité ce qui est une impossibilité.

On retrouve la démonstration habituelle de l’irrationalité de 2^1/2 mais comme je ne l’ai jamais vue étendue à 2^1/N je crains qu’il n’y ait une erreur dans la démonstration ci-dessus.

Merci de vos commentaires.

PLus generalement tu peux montrer que si a_1,...,a_n sont des entiers alors est soit un entier soit un irrationnel. (ou les N_i sont des entiers aussi)