Somme des racines carrées des premiers entiers
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Somme des racines carrées des premiers entiers



  1. #1
    ichigo01

    Somme des racines carrées des premiers entiers


    ------

    Salut à tous !

    Je veux calculer la limite d'une suite contenant le terme : , mais je n'arrive pas à trouver le terme générale de ce dernier !
    Est ce que quelqu'un peut m'aider à le trouver !

    Merci d'avance !

    -----

  2. #2
    Flyingsquirrel

    Re : Somme racine carré

    Salut,
    Citation Envoyé par ichigo01 Voir le message
    Est ce que quelqu'un peut m'aider à le trouver !
    Je doute qu'il existe une expression simple de ta somme.

    Intuitivement, tu ne vois pas quelle est la limite de la somme ?

  3. #3
    ichigo01

    Re : Somme racine carré

    Oui , mais je vais obtenir une forme indéterminée, car je veux calculer la limite de la suite suivante : qui peut s'écrire : ou bien :
    .
    Je n'arrive pas à calculer la limite d'aucune de ces formes

    Merci !

  4. #4
    Flyingsquirrel

    Re : Somme racine carré

    Citation Envoyé par ichigo01 Voir le message
    ...je veux calculer la limite de la suite suivante : ...
    Tu connais les sommes de Riemann ?

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    ichigo01

    Re : Somme racine carré

    Oui , je viens d'entamer le cours sur les intégrales , et c'est pour ça que je veux calculer la limite des cette suite , c'est une somme de Riemann et ça limite n'est que :
    Bien sur, je sais calculer cette intégrale ( peut s'écrire ... ) , mais je veux le faire en calculant la limite de la somme .

    Merci !

  7. #6
    ichigo01

    Re : Somme racine carré

    Citation Envoyé par ichigo01 Voir le message
    mais je veux le faire en calculant la limite de la somme .
    Est ce que c'est possible ? !

  8. #7
    invitebfd92313

    Re : Somme racine carré

    c'est possible, tu cherches donc à trouver un equivalent de la somme des racines des n premiers entiers. Pour cela, je te conseille d'encadrer un paquet de termes compris entre 2 carrés parfaits consécutifs, tu peux trouver ton equivalent ainsi et en déduire la valeur de ton intégrale.
    (meme si ca ne sert a rien puisque les primitives de sqrt(x) sont plutot bien acceptées de nos jours dans la communauté scientifique )

  9. #8
    ichigo01

    Re : Somme racine carré

    Citation Envoyé par Hamb Voir le message
    Pour cela, je te conseille d'encadrer un paquet de termes compris entre 2 carrés parfaits consécutifs, tu peux trouver ton equivalent )
    Je n'arrive pas à trouver un équivalent , car y en a toujours des termes avec la racine carré !!!!

    Merci !

  10. #9
    invitebfd92313

    Re : Somme racine carré

    oui c'est pour ca qu'il faut "encadrer" (c'est a dire majorer et minorer les racines pour s'en débrarrasser), mais l'encadrement direct te donnerait sqrt(1) < sqrt(k) < sqrt(n) qui est tout a fait ininteressant, d'ou l'idée d'encadrer par paquets pour avoir qqch de plus précis.

  11. #10
    ichigo01

    Re : Somme racine carré

    ça ne peut pas s'écrire sous forme de sigma(s) à l'intérieur d'un sigma ??

  12. #11
    ichigo01

    Re : Somme racine carré

    ça n'a aucun sens ce que je viens de dire, je le sais

  13. #12
    invitebfd92313

    Re : Somme racine carré

    je vais etre plus précis : si n² < k < (n+1)² alors n < sqrt(k) < n+1

    cet encadrement est pratique parce que tu sais calculer des sommes avec "n" comme terme général.

  14. #13
    invite4eac1b14

    Re : Somme racine carré

    salut, tu peux utiliser un encadrement de la suite Un mais dans ce cas le seul résultat que tu pourras avoir est que 0<=limUn<=1 mais pour avoir la valeur exacte de limUn tu dois utiliser la somme de riemann comme tu l'as donné précédemment. bon courage

  15. #14
    invitebfd92313

    Re : Somme racine carré

    non j'insiste, en n'encadrant pas comme un bourrin on peut se passer des sommes de riemann xD d'ailleurs c'est pas forcément si inutile que ca, à voir.

  16. #15
    invite4eac1b14

    Re : Somme racine carré

    je vois pas qu'il y en a plusieurs possibilité pour encadrer de cette suite en plus l'encadrement que tu as fait tout à l'heure n'est pas correcte car l'entier k varie entre 1 et n et non pas n^2 et (n+1)^2 et si 1<=k<=n, k ne peut jamais être supérieur à n^2 qui est déja supérieur à n car n>1.

  17. #16
    invite1e1a1a86

    Re : Somme racine carré

    non,Hamb propose de ranger les k par paquets

    combien y'a t'il de k qui vérifie n^2<k<(n+1)^2
    on les range par paquets (exemple pour n=1 il y a 1 2 3 ,n=2 il y a 4 5 6 7 8...)

    on somme tous ça
    et on trouve une majoration/minoration plus joli

  18. #17
    ichigo01

    Re : Somme racine carré

    Citation Envoyé par SchliesseB Voir le message
    Oui , j'ai déjà trouvé ça , mais après ??

  19. #18
    ichigo01

    Re : Somme des racines carrées des premiers entiers

    Comment on peut écrire ça en terme de n ? !

  20. #19
    invite1e1a1a86

    Re : Somme des racines carrées des premiers entiers

    on utilise ce que j'ai dit 2 lignes plus haut (majoration, minoration)

    3*1+5*2+...<Somme des racines<3*2+5*3+...

  21. #20
    ichigo01

    Re : Somme des racines carrées des premiers entiers

    Citation Envoyé par SchliesseB Voir le message
    on utilise ce que j'ai dit 2 lignes plus haut (majoration, minoration)

    3*1+5*2+...<Somme des racines<3*2+5*3+...
    La somme des racines n'est ce pas ce qu'on cherche ?? et pour la majoration et la minoration , comment tu as introduis la multiplication ?

    Merci !

  22. #21
    invitebfd92313

    Re : Somme des racines carrées des premiers entiers

    bon alors je vais essayer d'être plus clair ^^

    soit n un entier.
    alors il existe un unique entier m tel que m² <= n < (m+1)²

    et tu as :



    pour le 2e terme, il ne devrait pas trop influencer le schmilblick donc on verra apres, pour le premier, tu as pour p² +1 <= k <= (p+1)² l'inégalité suivante :


    tu peux sommer ces inégalités entre p²+1 et (p+1)² puis sommer les inégalités obtenues pour p variant de 0 a n-1.

    regarde apres si tu arrives a en déduire ton équivalent.

  23. #22
    invite4793db90

    Re : Somme des racines carrées des premiers entiers

    Salut,



    Pour la démonstration, il est utile de considérer la fonction .
    Une méthode consiste notamment à calculer la transformée de Mellin de cette fonction...

    Cordialement.

  24. #23
    breukin

    Re : Somme des racines carrées des premiers entiers

    Sauf erreur, il s'agit d'une série asymptotique, et non d'une série convergente ; si les coefficients initiaux diminuent, je crois bien que les suivants, à partir d'un certain rang, vont augmenter sérieusement ?

  25. #24
    invite4793db90

    Re : Somme des racines carrées des premiers entiers

    Salut,

    il s'agit bien d'un développement asymptotique. Il donne en particulier l'équivalent : celà ne répond-il pas à la question posée ? (je n'ai pas lu tout le fil)

    Cordialement.

  26. #25
    ichigo01

    Re : Somme des racines carrées des premiers entiers

    Citation Envoyé par Hamb Voir le message



    tu peux sommer ces inégalités entre p²+1 et (p+1)² puis sommer les inégalités obtenues pour p variant de 0 a n-1.
    Variant de 0 à n-1 ou bien de 0 à m-1 car dans la somme je ne comprend pas comment vous avez choisis m-1 !

    Bon , j'ai compris comment vous voulez procédez et ça me semble très logique

  27. #26
    invitebfd92313

    Re : Somme des racines carrées des premiers entiers

    le m est choisi ainsi : si on regarde les terme de la suite u(m) = m², on voit clairement que tout entier n donné se trouve entre 2 termes de la suite (il en irait de meme pour toute suite u(m) strictement croissante). Ce m étant choisi, on a par construction l'inégalité m² <= n < (m+1)²
    bien évidemment, le choix de la suite u(m) = m² est motivé par le fait qu'il y ait une racine dans la somme, et ainsi quand on va encadrer le terme général, la racine et le carré vont se compenser.

    a partir de la, fais preuve d'un peu d'initiative, il est très facile de vérifier que p varie bien entre 0 et m-1, il suffit en effet de regarder pour chaque valeur de p quels entiers balaie l'indice k :
    pour p = 0, k varie de 1 à 1
    pour p = 1, k varie de 2 à 4
    pour p = 2, k varie de 5 à 9
    ...
    pour p = m-1, k varie de (m-1)² +1 à m²

    si tu rajoutes l'autre somme qui correspond aux valeurs de k entre m²+1 et n, tu obtiens bien la somme pour k variant de 1 à n.

    D'ailleurs, cela aurait été vrai en choisissant n'importe quel m tel que m² <= n, mais ici j'ai pris le plus grand entier m vérifiant m² <= n de facon à ce que le "reste" (c'est a dire les termes pour k entre m²+1 et n) soit assez petit pour etre négligeable devant la premiere somme et qu'on puisse ainsi s'en débarrasser.

    J'espère que j'ai été assez clair cette fois-ci, si jamais tu ne t'en sors pas avec le fameux "reste", tu peux toujours prendre le cas particulier ou n est de la forme m² (c'est à dire quand le "reste" est nul) dans un premier temps.

  28. #27
    invitec4527f1e

    Re : Somme racine carré

    Bonjour.
    J'ai le même exercice au fait.. Je voulais l'écrire, la suite, sous forme d'une des sommes de Dorbeaux, ça s'avère compliqué, j'ai considéré la fonction racine(x) et et puisque k varie de 1 à n j'ai pris l'intervalle (i-1)/n et i/n et y en a toujours des sommes contenant la racine. Ne peut on pas la rapprocher à un intégrale, l'intégrale au sens de Reimann ? Si oui? Comment ?
    Merci.

  29. #28
    iharmed

    Re : Somme des racines carrées des premiers entiers

    Citation Envoyé par ichigo01 Voir le message
    Salut à tous !

    Je veux calculer la limite d'une suite contenant le terme : , mais je n'arrive pas à trouver le terme générale de ce dernier !
    Est ce que quelqu'un peut m'aider à le trouver !

    Merci d'avance !
    la limite c'est l'infini

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