Somme des racines carrées des premiers entiers

[ichigo01]

Salut à tous !

Je veux calculer la limite d'une suite contenant le terme : , mais je n'arrive pas à trouver le terme générale de ce dernier !
Est ce que quelqu'un peut m'aider à le trouver !

Merci d'avance !
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[Flyingsquirrel]

Salut,

Est ce que quelqu'un peut m'aider à le trouver !

Je doute qu'il existe une expression simple de ta somme.

Intuitivement, tu ne vois pas quelle est la limite de la somme ?

[ichigo01]

Oui , mais je vais obtenir une forme indéterminée, car je veux calculer la limite de la suite suivante : qui peut s'écrire : ou bien :
.
Je n'arrive pas à calculer la limite d'aucune de ces formes

Merci !

[Flyingsquirrel]

...je veux calculer la limite de la suite suivante : ...

Tu connais les sommes de Riemann ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[ichigo01]

Oui , je viens d'entamer le cours sur les intégrales , et c'est pour ça que je veux calculer la limite des cette suite , c'est une somme de Riemann et ça limite n'est que :
Bien sur, je sais calculer cette intégrale ( peut s'écrire ... ) , mais je veux le faire en calculant la limite de la somme .

Merci !

[ichigo01]

mais je veux le faire en calculant la limite de la somme .

Est ce que c'est possible ? !

[Hamb]

c'est possible, tu cherches donc à trouver un equivalent de la somme des racines des n premiers entiers. Pour cela, je te conseille d'encadrer un paquet de termes compris entre 2 carrés parfaits consécutifs, tu peux trouver ton equivalent ainsi et en déduire la valeur de ton intégrale.
(meme si ca ne sert a rien puisque les primitives de sqrt(x) sont plutot bien acceptées de nos jours dans la communauté scientifique )

[ichigo01]

Pour cela, je te conseille d'encadrer un paquet de termes compris entre 2 carrés parfaits consécutifs, tu peux trouver ton equivalent )

Je n'arrive pas à trouver un équivalent , car y en a toujours des termes avec la racine carré !!!!

Merci !

[Hamb]

oui c'est pour ca qu'il faut "encadrer" (c'est a dire majorer et minorer les racines pour s'en débrarrasser), mais l'encadrement direct te donnerait sqrt(1) < sqrt(k) < sqrt(n) qui est tout a fait ininteressant, d'ou l'idée d'encadrer par paquets pour avoir qqch de plus précis.

[ichigo01]

ça ne peut pas s'écrire sous forme de sigma(s) à l'intérieur d'un sigma ??

[ichigo01]

ça n'a aucun sens ce que je viens de dire, je le sais

[Hamb]

je vais etre plus précis : si n² < k < (n+1)² alors n < sqrt(k) < n+1

cet encadrement est pratique parce que tu sais calculer des sommes avec "n" comme terme général.

[invite4eac1b14]

salut, tu peux utiliser un encadrement de la suite Un mais dans ce cas le seul résultat que tu pourras avoir est que 0<=limUn<=1 mais pour avoir la valeur exacte de limUn tu dois utiliser la somme de riemann comme tu l'as donné précédemment. bon courage

[Hamb]

non j'insiste, en n'encadrant pas comme un bourrin on peut se passer des sommes de riemann xD d'ailleurs c'est pas forcément si inutile que ca, à voir.

[invite4eac1b14]

je vois pas qu'il y en a plusieurs possibilité pour encadrer de cette suite en plus l'encadrement que tu as fait tout à l'heure n'est pas correcte car l'entier k varie entre 1 et n et non pas n^2 et (n+1)^2 et si 1<=k<=n, k ne peut jamais être supérieur à n^2 qui est déja supérieur à n car n>1.

[SchliesseB]

non,Hamb propose de ranger les k par paquets

combien y'a t'il de k qui vérifie n^2<k<(n+1)^2
on les range par paquets (exemple pour n=1 il y a 1 2 3 ,n=2 il y a 4 5 6 7 8...)

on somme tous ça
et on trouve une majoration/minoration plus joli

[ichigo01]

Oui , j'ai déjà trouvé ça , mais après ??

[ichigo01]

Comment on peut écrire ça en terme de n ? !

[SchliesseB]

on utilise ce que j'ai dit 2 lignes plus haut (majoration, minoration)

3*1+5*2+...<Somme des racines<3*2+5*3+...

[ichigo01]

on utilise ce que j'ai dit 2 lignes plus haut (majoration, minoration)

3*1+5*2+...<Somme des racines<3*2+5*3+...

La somme des racines n'est ce pas ce qu'on cherche ?? et pour la majoration et la minoration , comment tu as introduis la multiplication ?

Merci !

[Hamb]

bon alors je vais essayer d'être plus clair ^^

soit n un entier.
alors il existe un unique entier m tel que m² <= n < (m+1)²

et tu as :



pour le 2e terme, il ne devrait pas trop influencer le schmilblick donc on verra apres, pour le premier, tu as pour p² +1 <= k <= (p+1)² l'inégalité suivante :


tu peux sommer ces inégalités entre p²+1 et (p+1)² puis sommer les inégalités obtenues pour p variant de 0 a n-1.

regarde apres si tu arrives a en déduire ton équivalent.

[martini_bird]

Salut,



Pour la démonstration, il est utile de considérer la fonction .
Une méthode consiste notamment à calculer la transformée de Mellin de cette fonction...

Cordialement.

[breukin]

Sauf erreur, il s'agit d'une série asymptotique, et non d'une série convergente ; si les coefficients initiaux diminuent, je crois bien que les suivants, à partir d'un certain rang, vont augmenter sérieusement ?

[martini_bird]

Salut,

il s'agit bien d'un développement asymptotique. Il donne en particulier l'équivalent : celà ne répond-il pas à la question posée ? (je n'ai pas lu tout le fil)

Cordialement.

[ichigo01]

tu peux sommer ces inégalités entre p²+1 et (p+1)² puis sommer les inégalités obtenues pour p variant de 0 a n-1.

Variant de 0 à n-1 ou bien de 0 à m-1 car dans la somme je ne comprend pas comment vous avez choisis m-1 !

Bon , j'ai compris comment vous voulez procédez et ça me semble très logique

[Hamb]

le m est choisi ainsi : si on regarde les terme de la suite u(m) = m², on voit clairement que tout entier n donné se trouve entre 2 termes de la suite (il en irait de meme pour toute suite u(m) strictement croissante). Ce m étant choisi, on a par construction l'inégalité m² <= n < (m+1)²
bien évidemment, le choix de la suite u(m) = m² est motivé par le fait qu'il y ait une racine dans la somme, et ainsi quand on va encadrer le terme général, la racine et le carré vont se compenser.

a partir de la, fais preuve d'un peu d'initiative, il est très facile de vérifier que p varie bien entre 0 et m-1, il suffit en effet de regarder pour chaque valeur de p quels entiers balaie l'indice k :
pour p = 0, k varie de 1 à 1
pour p = 1, k varie de 2 à 4
pour p = 2, k varie de 5 à 9
...
pour p = m-1, k varie de (m-1)² +1 à m²

si tu rajoutes l'autre somme qui correspond aux valeurs de k entre m²+1 et n, tu obtiens bien la somme pour k variant de 1 à n.

D'ailleurs, cela aurait été vrai en choisissant n'importe quel m tel que m² <= n, mais ici j'ai pris le plus grand entier m vérifiant m² <= n de facon à ce que le "reste" (c'est a dire les termes pour k entre m²+1 et n) soit assez petit pour etre négligeable devant la premiere somme et qu'on puisse ainsi s'en débarrasser.

J'espère que j'ai été assez clair cette fois-ci, si jamais tu ne t'en sors pas avec le fameux "reste", tu peux toujours prendre le cas particulier ou n est de la forme m² (c'est à dire quand le "reste" est nul) dans un premier temps.

[CyrellWires]

Bonjour.
J'ai le même exercice au fait.. Je voulais l'écrire, la suite, sous forme d'une des sommes de Dorbeaux, ça s'avère compliqué, j'ai considéré la fonction racine(x) et et puisque k varie de 1 à n j'ai pris l'intervalle (i-1)/n et i/n et y en a toujours des sommes contenant la racine. Ne peut on pas la rapprocher à un intégrale, l'intégrale au sens de Reimann ? Si oui? Comment ?
Merci.

[iharmed]

Salut à tous !

Je veux calculer la limite d'une suite contenant le terme : , mais je n'arrive pas à trouver le terme générale de ce dernier !
Est ce que quelqu'un peut m'aider à le trouver !

Merci d'avance !

la limite c'est l'infini