Division par 3

[ibtihel]

bonjour
on sait que 3 est diviseur d'un nombre entier relatif que si la somme de ces chiffres est divisable sur 3.
ya t'il une démonstration pour cà ?
merci
@+
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[inviteea028771]

Oui, il y a bien une démonstration pour ça.

Je vais noter le reste de la division de p par 3

Remarquons deux choses :
1)
2)

Démonstration :

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On pose et

Alors on a :
1) , donc le reste de la division de a+b par 3 est le reste de la division de par 3
2) , donc le reste de la division de ab est le reste de la division de par 3

Maintenant remarquons que pour tout , on a

Démonstration :

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Par réccurence, remarquons déjà que , donc la propriété est vraie pour k = 0

Supposons maintenant la propriété vraie pour tout . On a alors :

La propriété est donc héréditaire

Donc par réccurence

Maintenant on s'interesse à pour tout entier naturel p. On notera le k-ième chiffre de p en base 10. On a alors :



Donc



De façon plus générale, en base b, l'équivalence "p divisible par q ssi la somme des chiffres de p est divisible par q" est vraie si et seulement si le reste de la division de b par q est égal à 1.

Ainsi en base 10, l'équivalence est vraie pour q=3 et q=9, et en base 16, l'équivalence précédente est vraie pour q = 3, q = 5 et q=15

[ibtihel]

Bsr
merci Tryss .. je vais tranquilement décortiquer tous cà
@+

[Seirios]

On peut également voir les choses ainsi : pour tout , , donc . Ainsi, N est divisible par 3 ssi l'est également.

[A voir en vidéo sur Futura]