homéomorphismes originaux

[invite6997af78]

Salut,

j'ai un petit exo sur les homéomorphismes mais je sais pas par où commencer...

Déterminer parmi les glyphes suivant, lesquels sont homéomorphes (on négligera l'épaisseur du trait),

A, B, C, D, E, F, G, H, J, K, O, P, Q, R, T, X, Y, 1, 4, 8, 9.

J'ai la def d'homéomorphisme suivante :

est un homéomorphisme de sur si est bijective continue de sur et si est continue de sur .
Dans ce cas, et sont dis homéomorphes.

OK, donc pour moi ca signifie qu'il existe une fonction qui "change" un espace en un autre sans le "casser". [c'est assez naïf...]

Normalement j'essaierai de construire , mais là ?

Je dis que O peut être "déformer" pour faire un D ?

Toute indication sera la bienvenue !

@+
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[invite57a1e779]

Oui, tu peux déformer le O en D : tu représentes le O par le cercle unité, et tu considères l'application f dont
– la restriction au demi-cercle situé dans le demi-plan x>0 est l'identité ;
– la restriction au demi-cercle situé dans le demi-plan x<0 est la projection orthogonale sur l'axe des ordonnées.

[invite6997af78]

OK, mais là c'est qu'un exemple. Je sens bien que C, G et P sont homéomorphes, peut-être le A et P aussi. Mais f ??

Au fait, dois-je comprendre que mon remaniement de la def est correct ?

[invite57a1e779]

Je sens bien que C, G et P sont homéomorphes, peut-être le A et P aussi.?

C et G sont homéomorphes, mais ne sont pas homéomorphes à P qui n'est pas homéomorphe à A.
Pour définir un homéomorphisme, le plus simple me semble de scinder les deux glyphes en plusieurs sous-glyphes, comme je l'ai fait pour D et O, et de définir f par ses restrictions à chacun des éléments de la partition ainsi définie. Cela permet de régler facilement la question de la bijectivité de f, de sa continuité, ainsi que la continuité de la bijection réciproque sur chacune des parties ; il reste alors à traiter la continuité sur le glyphe lui-même par recollement.

Au fait, dois-je comprendre que mon remaniement de la def est correct ?

Oui, cette vision est correcte en première approximation.

[A voir en vidéo sur Futura]