Equation différentielle

[invite7eed2b83]

Bonjour, j'ai une équation différentielle à résoudre, j'ai réussi mais je ne suis pas sûre, pourriez vous vérifier, ensuite j'ai d'autres question en rapport avec cette équation, et là je sèche, pourriez vous m'aider, et me donner des conseils?

(L): abs(x)y' + y' + (x-1) =x2
asb pour valeur absolue

voila donc déjà je dois la résoudre sur deux intervalles D1=]-infini;0[ et sur D2=]0;+infini[

donc sur D2:
je résoue (H1) , j'utilise la méthode de variation de la constante, et j'obtiens comme solutions pour (L): Sl={f-> kx*exp(-x) + x - xau carré }

et sur D1:
j'applique la même méthode, et j'obtiens:
Sl={f-> (kexp(-x))/x +x-2+(2/x) }

Voila pour la résolution,

après on me demande de montrer que pour tout x [-1;0[
xau cube/6 < exp(x)-(1+x+x2/2)) < 0

voila la dessus je bloque c'est peut parce que je me suis trompée pour l'un des résultats précédents, sinon j'ai essayée de poser une fonction f(x)=exp(x)-(1+x+x2/2)) - xau cube/6
et de calculer sa dérivée, mais je n'arrive pas à lui donner de signe et calculer la dérivée seconde reviendrai au même,

Merci d'avance
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[invite7eed2b83]

Personne ne peut m'aider?

[inviteea028771]

Tu t'es effectivement trompé dans ta résolution... Mais ici ça n'est pas une "vraie" équation différentielle, il suffit de mettre y' d'un coté, les x de l'autre et d'intégrer :

sur

sur

sur

Mais je serrai prêt à parier que l'énoncé que tu as donné n'est pas le bon

Sinon j'ai envie de te faire remarquer que 1+x+x²/2 et 1+x+x²/2+x^3/6 sont les premiers termes du développement de Taylor de e^x en 0. Je ne sais pas si c'est la méthode employée ici pour démontrer ce résultat, mais on peut parfaitement le démontrer de cette façon

[invite7eed2b83]

D'accord, merci beaucoup et effectivement je me suis trompé dans l'énoncé, je suis désolé en faite c'est:

(L): abs(x)y' + y*(x-1) =x^2
asb pour valeur absolue

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteea028771]

Donc avec cette nouvelle équa-diff, je trouve comme solutions :

sur

Et

sur

Je suppose que pour montrer l'encadrement, il faut poser A=-2 et injecter dans l'equa-diff (on a bien un terme en exp(x)-(1+x+x2/2) qui apparait)

[invite7eed2b83]

D'accord, merci beaucoup mais en faite je ne trouve pas mon erreur, j'ai fait :
- sur ]0;+infini[ , pour l'homogène je trouve pareil que vouspar contre pour la solutionparticulière, j'utilise la méthode de variation de la constante en posant y(x)=k(x)*f(x) et j'obtiens k'(x)=exp(-x) donc k(x)=-exp(-x) donc y(x)=-x
alors que vous obtenez +x

- sur ]-infini;0[ pour l'homogène je trouve pareil que vous par contre pour la solution particulière, j'utilise la méthode de variation de la constante en posant y(x)=k(x)*f(x) et j'obtiens k'(x)=-x^2*exp(-x) et là je n'arrive pas à calculer la primitive avec une intégration par partie, je tourne en rond


Merci d'avance

[invite7eed2b83]

En faite c'est bon^pour la solution sur ]0;+infini[ je trouve pareil que vous

[invite7eed2b83]

par contre je n'arrive toujours pas l'intégration par partie

[inviteea028771]

Pour la fonction sur ]-oo,0[, on pose :



D'où

Ainsi en injectant dans l'équa-diff :



Ce qui se simplifie en :



Ainsi


On a alors :


En réinjectant dans l'expression de f, on trouve bien :

[invite7eed2b83]

d'accord, merci beaucoup de vous donnez autant de mal pour m'expliquer et détailler vos calculs, j'ai du faire une erreur de signe malgré que je l'ai recommmencé plusieurs fois, par contre je ne comprend pas bien votre indicatiion pour la suite parce que si je remplace dans l'équation avec A=-2 cela s'annule ?

Merci d'avance

[inviteea028771]

En fait visiblement ça ne marche pas ^^

Si je devais faire ça, j'utiliserai le développement de Taylor de l'exponentielle en 0, et je calculerai le signe du reste à l'ordre 2 et 3 :
, avec
On montre alors facilement que

De même, à l'ordre 3 :
, avec
On montre alors que

Et on a alors l'encadrement demandé.

[invite7eed2b83]

D'accord, merci beaucoup mais je en 'ai pas encore vu ça en cours

Merci d'avance

[invite7eed2b83]

Auriez vous une autre méthode?

[invite57a1e779]

j'ai essayée de poser une fonction f(x)=exp(x)-(1+x+x2/2)) - xau cube/6
et de calculer sa dérivée, mais je n'arrive pas à lui donner de signe et calculer la dérivée seconde reviendrai au même

Il faut aller jusqu'à la dérivée troisième.

[invite7eed2b83]

C'est bon j'ai réussi, en faite c'était simple, mais après on me demande d'en déduire une fonction f de [-1;0[ dans R tel que
exp(x)= 1+x+(x^2)/2 + (x^2)*f(x) qui tend vers 0 en 0

Merci d'avance

[invite7eed2b83]

en faite c'est bon :
exp(x)= 1+x+(x^2)/2 + (x^2)*f(x)
donc
exp(x)- (1+x+(x^2)/2 ) = (x^2)*f(x)

je remplace dans l'inégalité de la question précédente
xau cube/6 < (x^2)*f(x) < 0
si x appartient à [-1;0[ x^2 >0
donc je epux diviser l'inégalité par x^2 , est ce que j'ai le droit ?
et après j'utilise le théorème des gendarmes pour trouver ca limite

Merci d'avance

[invite7eed2b83]

et comme solution sur R pour l'équation différentielle je trouve:

si x<0 -2((exp(x)-1)/x +x+2
s x>0 x - xexp(-x)

Merci d'avance