Indication sur une limite

[invitec3143530]

Bonjour, je n'arrive pas à prouver que :

Lim c(n+1)/c(n)=L => Lim c(n)^(1/n) = L où c(n) est une suite de réels positifs.

Auriez-vous une piste ? Merci d'avance.
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[phys4]

Bonjour,

La première limite implique que c(n) varie comme une progression géométrique de raison L,
donc

[invitec3143530]

Simple et clair ! Merci.

[invited7e4cd6b]

Bonsoir,
Dire que la suite se comporte comme une suite géométrique semble avoir sa part d’ambiguïté(A part si vous parliez d'une approximation a partir d'un certain rang mais il faut le démontrer). J'ai raisonne suivant la definition d'une suite quelconque qui converge vers L et par un télescopage pour obtenir c(n) /c(N) et l'encadrer par L^n-N et faire tendre le tout vers +L'inf.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

La première limite implique que c(n) varie comme une progression géométrique de raison L,
donc

Simple et clair ! Merci.

Simple et clair, mais faux !!!

Soit c(n)=n, alors c(n+1)/c(n)=(n+1)/n tend vers L=1.
Il n'existe aucun K tel que c(n) soit équivalent à K.L^n=K.

Une approche possible : considérer la suite de terme général u(n)=ln[c(n)] et penser au théorème de Cesàro.

[Seirios]

Bonjour,

Si l'on veut faire les choses de manière rigoureuse, on peut dire qu'il existe tel que pour tout , ou . Par itération de l'inégalité, on obtient , d'où . Or , donc pour tout n plus grand qu'un certain entier M, . De même, pour tout n plus grand qu'un certain entier P, . Pour tout n supérieure à max(N,M,P), on a alors .

[invitec3143530]

Enfaite la première réponse m'a donné l'idée (d'utiliser les séries géométriques), mais la démonstration que j'avais rédigé est quasiment identique à celle de Seirios