factorisation de polynomes sur C

[invitec1942a00]

Bonjour,

pour commencer quelques questions "bateau" pour avoir confirmation :
lorsque l'on a une equation du type X^n + 1 = O, une des racines complexes du polynôme est -1 ?
( car X^n + 1 = 0 équivaut à X^n = -1)
et pour trouver les autres on "découpe" le cercle trigonométrique en n parts égales ?
de même lorsque l'on a une equation du type X^n - 1 = O, une des racines complexes du polynôme est 1 ?


pour résoudre une équation telle : X^4 + x² + 1
jai posé Z=X²
...
j'ai trouvé Z1 = e^(2i.pi)/3 et Z2 = e^(-2i.pi)/3
donc après jai écrit : X^4 + x² + 1 = (X - Z1)(X - Z2)(X + Z1)(X + Z2)
je ne sais pas si c'est correct.
en tout cas notre professeur, nous as dit qu'il y avait un "moyen" de voir les racines immédiatement (sauf que je n'ai pas absolu rien compris).
j'aurai donc aimé savoir s'il y avait effectivement une méthode plus rapide pour trouver les racines et si quelle est-elle !

Merci beaucoup.
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[invitefd4e7c09]

Bonjour,
pour commencer quelques questions "bateau" pour avoir confirmation :
lorsque l'on a une equation du type X^n + 1 = O, une des racines complexes du polynôme est -1 ?
( car X^n + 1 = 0 équivaut à X^n = -1)

Bonjour,

Pas vraiment car donc n'est pas toujours racine du polynôme

pour résoudre une équation telle : X^4 + x² + 1
jai posé Z=X²

Attention est une équation mais est un trinôme
C'est une façon de faire effectivement
Vous aboutissez ainsi à une équation du second degré

j'ai trouvé Z1 = e^(2i.pi)/3 et Z2 = e^(-2i.pi)/3
donc après jai écrit : X^4 + x² + 1 = (X - Z1)(X - Z2)(X + Z1)(X + Z2)
je ne sais pas si c'est correct.

N'hésitez pas à vérifier vos résultats sur Wolfram

Ici perso (et ça n'engage que moi) j'exploiterai plutôt les bonnes vieilles identités remarquables du collège

Raisonnement :
*************
Le trinôme me fait penser à peu de chose près au développement de (ça ressemble à notre trinôme si l'on retranche x^2)
(et on reconnait encore une identité remarquable )

Je vous laisse conclure ...
De la à dire que les racines sont évidentes, faut pas pousser