question sur les séries

[invite371ae0af]

bonjour,
j'aurai besoin d'une vérification sur certain résultat:
soit la série définie par son terme général Vn=ln((n+1)/n) .
j'ai trouvé que cette série diverge vers +oo

soit la série définie par son terme général Un=n/(2^n)
j'ai trouvé que cette série converge vers 1

est ce que les résultats trouvés précédemment sont bon?

A présent j'aurai 2 autres questions:
dans un exo on me demande de prouver que:
S_2n-S_n>1/2
avec Sn=

j'ai cassé la somme S_2n et j'obtient
S_2n-S_n=
mais le problème est que quand je développe cette somme je remarque qu'elle tend vers 0 ce qui n'est pas possible puisqu'on veut montrer que S_2n-S_n>1/2 où est-je fais une erreur
dans la suite j'ai utilisé une exponentielle
exp((n+1)x...x2n) et elle tend vers +oo
donc S_2n-S_n tend vers +oo
pourquoi est je 2 résultats différents (où est mon erreur)? et lequel est juste?


le dernier exo qui me pose problème est celui-ci:
on considère une fonction de N dans N
montrer que pour tout n dans N, f(n)>=n
j'ai procédé par récurrence mais je n'arrive pas prouver l'hérédité:
j'arrive à: f(n+1)>f(n)>=n
comment avancer?


merci de votre aide
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[phys4]

bonjour,
j'aurai besoin d'une vérification sur certain résultat:
soit la série définie par son terme général Vn=ln((n+1)/n) .
j'ai trouvé que cette série diverge vers +oo

Cette série diverge en effet.

soit la série définie par son terme général Un=n/(2^n)
j'ai trouvé que cette série converge vers 1

est ce que les résultats trouvés précédemment sont bon?

La seconde série converge mais le résultat n'est pas 1.

A présent j'aurai 2 autres questions:
dans un exo on me demande de prouver que:
S_2n-S_n>1/2
avec Sn=

j'ai cassé la somme S_2n et j'obtient
S_2n-S_n=
mais le problème est que quand je développe cette somme je remarque qu'elle tend vers 0 ce qui n'est pas possible puisqu'on veut montrer que S_2n-S_n>1/2 où est-je fais une erreur

La somme partielle contient n termes dont chacun est supérieur ou égal à 1/2n, elle ne peut tendre vers zéro.

dans la suite j'ai utilisé une exponentielle
exp((n+1)x...x2n) et elle tend vers +oo
donc S_2n-S_n tend vers +oo
pourquoi est je 2 résultats différents (où est mon erreur)? et lequel est juste?

Elle ne tend pas non plus vers l'infini, mais vers une constante.

le dernier exo qui me pose problème est celui-ci:
on considère une fonction de N dans N
montrer que pour tout n dans N, f(n)>=n
j'ai procédé par récurrence mais je n'arrive pas prouver l'hérédité:
j'arrive à: f(n+1)>f(n)>=n
comment avancer?

Je ne comprends pas ce dernier exo, il manque une définition pour f(n)

[invite371ae0af]

pour le dernier exo j'ai oublié l'hypothèse de la croissance

[phys4]

D'accord pour la croissance, alors en partant de f(1) >= 1 par définition, nous obtenons que f(2) > f(1) implique f(2) >= 2
Par récurrence la démonstration doit être possible.

Pour les sommes partielles de 1/n, j'ai omis de signaler qu'il s'agit aussi de n termes tous inférieurs à 1/n , donc la somme partielle reste inférieure à 1
Au total la limite de ces sommes doit être comprise entre 1/2 et 1

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

soit la série définie par son terme général Un=n/(2^n)
j'ai trouvé que cette série converge vers 1

Les premiers termes de la série sont : , , .
Donc et, comme les termes suivants de la série sont strictement positifs, la somme de la série ne

j'ai cassé la somme S_2n et j'obtient
S_2n-S_n=
mais le problème est que quand je développe cette somme je remarque qu'elle tend vers 0

Cette remarque n'est pas fondée ; personnellement, je remarque que S_2n-S_n tend vers ln(2).
Quant au truc avec l'exponentielle, je n'ai pas compris le rapport avec S_2n-S_n.

on considère une fonction de N dans N
montrer que pour tout n dans N, f(n)>=n
j'ai procédé par récurrence mais je n'arrive pas prouver l'hérédité:
j'arrive à: f(n+1)>f(n)>=n
comment avancer?

Lorsqu'on travaille avec des entiers, l'inégalité stricte est équivalente à l'inégalité large .
Mais le résultat ne me semble pas accessible lorsque, par exemple on considère une fonction constante de N dans N.

[invite371ae0af]

j'aurais encore une question
comment faites vous pour montrer que 1/(n+k)>1/(2n) avec k dans [1,n]?
j'ai essayé par récurrence mais sans succès

[invite57a1e779]

Tout simplement parce que .

[invite371ae0af]

oui j'ai essayé ca mais ca suffit comme justification?

[invite57a1e779]

Il me semble qu'enchaîner :

à , puis à

relève des règles les plus élémentaires de manipulation des inégalités.