Integrales à paramètres TPE-IVP 2011

[invite56c2d93a]

Bonjour, je tente de resoudre l'exercice d'oral suivant ( TPE-IVP 2011), dont voici l'enoncé:

soit g(x)=

a) montrer que g est continue sur R et étudier sa dérivabilité
b) exprimer g(x) en fonction de , en déduire la valeur de cette meme integrale entre - l'infini et + l'infini

j'aimerais votre avis sur ce que j'ai tenté de faire et votre aide pour la suite

pour le a) j'ai défini la fonction f(x,t) egale à la fonction sous l'integrale g, et j'ai dit qu'elle etait définie sur R fois [0,1], continue par rapport a la 1ere variable et continue par morceaux par rapport à la 2e variable
puis j'ai cherché une majoration de la valeur absolue de f par une fonction h continue et integrable sur [0,1]
j'ai tenté pour h, 1/(1+t^2)
et en ai conclu la continuité de g sur [0,1]

j'ai ensuite calculé la dérivée partielle de f par rapport a x, j'ai trouvé -2*x*e^((1+t^2)*x^2) continue par rapport a la 1ere variable et continue par morceaux par rapport à la 2e variable, j'ai cherché de meme a majorer la valeur absolue de cette derivée, j'ai tenté par e^((1+t^2)*x^2) continue et integrable sur [0,1]

j'en ai conclu que g etait de classe C1
(dois je calculer g' ?)

pour la b) j'ai sorti e^(-x^2) de l'integrale et j'ai separé par chasles, puis j'ai voulu faire une ipp mais c 'est pas terrible....

voila, merci par avance de votre aide !!
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Pour la continuité de , je suis d'accord.

Pour la dérivabilité, il me semble qu'il faut dominer par une fonction continue par morceaux et intégrable sur indépendante de , ce qui n'est pas le cas de ton majorant .

Pour la question a, il est demandé d'étudier la dérivabilité de , donc le conclure quant à l'existence de ; la valeur éventuelle de la dérivée n'est pas envisagée ici.

Par contre, le calcul de est peut-être utile pour la question b. Tu as "sorti" de l'intégrale : il te reste donc dans l'intégrale, comme on te demande un résultat en fonction d'une intégrale avec , un changement de variable me semble plus opportun qu'une intégration par parties.

[invite56c2d93a]

ah oui effectivement pour le majorant....du coup e^(1+t^2) conviendrait mieux , non ?
pour le changement de variable je vais essayer meric

[invite56c2d93a]

pour le changement de variable, j'ai abouti à
g(x)= (xe^(-x))^2 + l'integrale entre 0 et x de e^(-t^2), donc je pense que c'est bon, par contre je ne vois pas trop comment en deduire l'integrale de - a + l'infini de e^(-t^2)...

[A voir en vidéo sur Futura]