Géométrie dans l'espace

[invite7eed2b83]

Bonjour, j'ai un exercice en troie partie à faire, j'ai commencé la première partie, mais je bloque sur certaines quetsion, pourriez vous m'aidez? Ensuite, je posterais les autres partie ou je bloque aussi sur quelques questions:



1) donc, pour la première quetsion, j'ai d'abord montré que vect(MA).vect(MB)=MA.MB (par définition du produit scalaire)
ensuite que vect(MA).vect(MB)=vect(MA).vec t(MA')
et ensuite que vect(MA).vect(MA')= vect(M(omhéga))^2 + vect((omhéga)A)^2
donc que vect(MA).vect(MA')=((omhéga)M) ^2 + R^2

je n'ai pas réussi à déduire, je ne sais pas commment m'y prendre

2) j'ai d'abord, montrer que vect(MA).vect(MA')= vect(MT)+vect(TA) . vect(MT)+vect(TA') = vect(MT)^2
puis que vect(MA).vect(MA')=vect(MT')+v ect(T'A) . vect(MT')+vect(T'A') = vect(MT')^2

3) je ne sais pas si j'ai fraiment répondu à la question, j'ai dit qu'on cherchait: vect(MA).vect(MA') et j'ai posé les coordonnées de A(xa;ya) et de B(xb;yx) et je remplace dans:
vect(MA).vect(MA')= (xa - x) * (xb -x) + (ya-y)*(yb-y) et j'obtiens x^2 + y^2 -ax -2by +c
avec a= (xa+xb)/2
b=(ya+yb)/2
c= xa*xb + ya*yb

voila je ne sais pas si cela convient

4) a.je ne sais pas comment m'y prendre

4)b. (je ne note plus vect, se sont tous des vecteur et je note omhéga G):

MA . MB = (MC+CA) . (MC + CB) = MC^2 + MC.(CG+GB) +MC.(CG+GA) +CA.CB
=MC^2 + MC.(GB+GA) + (CM+MA).(CM+MB)
=MC^2 + CM^2 +MA.MB
=MC^2 +CM^2
=2 norme(MC)^2

ca ne fonctionne pas , et je en vois pas mon erreur

Merci d'avance
-----

[invite7eed2b83]

Quelqu'un peut m'aider?

[phys4]

Bonjour,

Question 1, l'idée des produits est bonne mais il faudrait écrire que le produit des vecteurs MA . MA' est la somme de


Les deux rayons sont des vecteurs opposés donc le développement du produit donne la relation cherchée.

Question 2 :Pourquoi ne pas utiliser le fait que la tangente est perpendiculaire au rayon , puis Pythagore ?
Question 3 : Si l'on remarque que l'équation du cercle s'écrit aussi (x - a)² + (y - b)² + c - a² - b² = 0
Le centre du cercle est a,b et son rayon R² = a² + b² - c

En utilisant cela l'expression de la puissance de M vous obtenez la relation voulue.

Question 4a : S'il existe un cercle passant par ABCD, alors la relation est vérifiée en vertu des démonstrations précédentes, réciproquement l'on prend le cercle passant par ABC qui coupe la droite MC en E alors la relation montre que MD = ME donc E et D sont confondus.

Question 4b : procédé similaire, si C est un point de tangence alors la relation est vraie, réciproquement le cercle passant par ABC coupe MC en D. Du fait d ela relation alors MC = MD , C et D ne peuvent être distincts et MC est une tangente.

[invite7eed2b83]

D'accord, merci beaucoup, j'ai tout compris, par contre pour la deuxième partie, j'ai eu plus de mal, la voici:



Mes réponses:
pour la deuxième partie:
1) en faite j'ai utilisé les équations des cercles et je me suis rendue compte que j'avais répondu à la question3)
3) j'ai égalé les deux equations, et j'obtiens l'équation de (D)

pour la troisième partie:
1) j'ai utilisé pythagore dans le triangla AGG' et j'ai réussi à démontrer

Merci d'avance

[A voir en vidéo sur Futura]

[phys4]

Bonjour,

Nous attendons toujours la validation de l'énoncé,
A propos de pythagore, l'écriture avec les vecteurs est très efficace :
Dans le triangle ABC rectangle en B nous écrivons


La valeur au carre nous donne directement :


le double produit est nul et l'on obtient directement le théorème. J'aurais du le mettre sous cette forme hier.

[invite7eed2b83]

D'accord, mais je ne trouve pas la question?

Merci d'avance

[phys4]

L'utilisation des équations est une bonne méthode, puisque l'on obtient les réponses 1 et 3.
Pour 2, ce n'est plus difficile : tout point M de la sécante commune AB a pour puissance MA.MB qui est la même pour les deux cercles ce qui démontre la proposition. Pour la tangente commune c'est aussi simple puisque la puissance vaut MA² pour les deux cercles.

Quels sont les point bloquants, il manque la troisième partie sur la photocopie ?

[invite7eed2b83]

D'accord, merci beaucoup pour ces indications, je vais y réfléchir et je vous direz ce que j'obtiens

[invite7eed2b83]

Voila, en faite il y a plusieurs choses qui me bloque:
- pour la 2)a. je n'arrive pas à me représenter la figure en faite
- pour la 2)b et c je ne suis pas sûre de bien avoir compris votre raisonnement, est ce que je peux écrire, par exemple pour la 2)b.:
l'intersection de C et C' est A et B , donc C(M)=C'(M) , donc delta=(AB)
-pour la 3) c'est bon
-en faite je crois que je n'ai pas compris ce qu'était un axe radical
donc la 4) je suis un peu perdue

Merci d'avance

[phys4]

Voila, en faite il y a plusieurs choses qui me bloque:
- pour la 2)a. je n'arrive pas à me représenter la figure en faite
- pour la 2)b et c je ne suis pas sûre de bien avoir compris votre raisonnement, est ce que je peux écrire, par exemple pour la 2)b.:
l'intersection de C et C' est A et B , donc C(M)=C'(M) , donc delta=(AB)
-pour la 3) c'est bon
-en faite je crois que je n'ai pas compris ce qu'était un axe radical
donc la 4) je suis un peu perdue

Merci d'avance

Pour la 2a il ya deux méthodes : algébrique qui montre que la droite a pour équation 2(a-a')x + 2(b-b')y +c - c' = 0
les coefficients directeurs de la droite sont promotionnelles aux coordonnes du vecteur

Méthode par calcul vectoriel : L'auteur voulait sans doute la démonstration suivante pour 1 et 2a : l'égalité des puissances pour le point M s'écrit


donc

La différences de vecteurs s'écrit aussi

Le premier terme est le vecteur joignant le centre des cercles, le second peut être remplacé par le vecteur 2.MO avec O centre du segment joignant les centres.

La relation exprime donc le produit scalaire


Pour que le produit scalaire soit constant la projection de M sur le segment joignant les centres doit être fixe, ce qui démontre que la courbe recherchée est une droite perpendiculaire à la ligne des centres.

Pour la question 2b, cette compréhension est correcte, pas de problème donc pour la suite.

Question 4 : L'intersection M de deux axes radicaux vérifie C(M) = C'(M) = C''(M) donc ce point est le troisième axe. Les trois axes ont le même point d'intersection.
Vous en déduisez que pour trouver l'axe radical de deux cercles non sécants, il suffit de tracer un cercle qui coupe ces deux cercles. Les droites qui joignent les points d'intersection des cercles deux à deux détermine le centre radical des trois cercles.
La droite passant ce point et perpendiculaire au segment joignant les centres des deux premiers cercles est l'axe recherché. Simple ?

Je vous laisse réfléchir sur le quadrilatère.

[invite7eed2b83]

D'accord, merci beaucoup pour toutes ces indications, je vais y réfléchir

[invite7eed2b83]

Bonjour, je ne vois pas pour le quadrilatère complet,mais je vais continuer à réfléchir, et voici la troisième partie de mon exercice,


j'ai réussi la première question en utilisant pythagore

Merci d'avance

[invite7eed2b83]

Pourriez vous m'aider?

[invite7eed2b83]

pour la question 2 de la partie III est ce que je peux utiliser la question précédente ?
anisi on trouve d'après l'équation de C' que G'(a';b') donc en utilisant la question d'avant on a C(G')=a'^2 + b'^2 -c'
qui est une condition?

Merci d'avance