Bonjour,
Soient (G,*) un groupe et e son élément neutre. On suppose que, pour tout x appartenant à G, on a x*x=e
Montrer que (G,*) est un groupe abélien.
je sais que l'abélien groupe dont la loi interne est commutative
pour tout (x,y) appartenant a E , x*y=y*x
élément neutre : x*e=e*x=x
je ne vois pas comment montrer qu'il s'agit d'un abélien
Bonjour,
Le groupe a une seule propriété particulière : tout élément est son propre inverse.
Il va donc falloir presser cette propriété comme un citron et en extraire tout le jus pour parvenir à la conclusion.
Cette conclusion fait intervenir 4 éléments : x, y ainsi que leurs composés x*y et y*x ; il faut vraisemblablement commencer par écrire la propriété caractéristique de G pour chacun de ces éléments, puis touiller (violemment sinon ça pourrait attacher), et sortir le résultat attendu.
x*x=e
x^-1*x^-1=e^-1
e*e^-1=1
propriété inversible:
x*x'=e
x'*x=e
x'*x=x*x'=e
si x*x-1=e
si x^-1*x=e
alors x*x^-1=x^-1*x=e
après je ne vois pas trop quoi faire
Bonjour,
x*x = e implique x = x^-1. Donc tout élément de G est son propre inverse. En particulier x*y appartient à G par définition des groupes et donc :
x*y = (x*y)^-1 = (y^-1)*(x^-1) = y*x.
Le groupe G est bien commutatif (il me semble que le mot abélien est plutôt réservé pour la loi additive).
