Bonjour,
Soient (G,*) un groupe et e son élément neutre. On suppose que, pour tout x appartenant à G, on a x*x=e
Montrer que (G,*) est un groupe abélien.
je sais que l'abélien groupe dont la loi interne est commutative
pour tout (x,y) appartenant a E , x*y=y*x
élément neutre : x*e=e*x=x
je ne vois pas comment montrer qu'il s'agit d'un abélien
Bonjour,
Le groupe a une seule propriété particulière : tout élément est son propre inverse.
Il va donc falloir presser cette propriété comme un citron et en extraire tout le jus pour parvenir à la conclusion.
Cette conclusion fait intervenir 4 éléments : x, y ainsi que leurs composés x*y et y*x ; il faut vraisemblablement commencer par écrire la propriété caractéristique de G pour chacun de ces éléments, puis touiller (violemment sinon ça pourrait attacher), et sortir le résultat attendu.
Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.
x*x=e
x^-1*x^-1=e^-1
e*e^-1=1
propriété inversible:
x*x'=e
x'*x=e
x'*x=x*x'=e
si x*x-1=e
si x^-1*x=e
alors x*x^-1=x^-1*x=e
après je ne vois pas trop quoi faire
Bonjour,
x*x = e implique x = x^-1. Donc tout élément de G est son propre inverse. En particulier x*y appartient à G par définition des groupes et donc :
x*y = (x*y)^-1 = (y^-1)*(x^-1) = y*x.
Le groupe G est bien commutatif (il me semble que le mot abélien est plutôt réservé pour la loi additive).
Dernière modification par uppa92 ; 10/10/2011 à 12h39.
