Boule ouverte, fermée et représentation graphique

[inviteaa7fccc7]

Bonjour a tous,

Je viens de commencer le chapitre sur les normes et l'on parle de boules ouvertes et fermée ...

On dit qu'on appelle une boule ouverte de centre a et de rayon r l'ensemble B(a;r) défini par : B(a;r) = {X appartient R^2 / ll x-a ll < r}

Mais la ou je bloque c'est pour la représentation graphique avec les normes 1 2 et infini ... Comment fait-on et pourquoi on obtien des carrés avec 1 et infini ?

d'apres ce que je comprend si on utilise la norme 2 avec a = 0 on a ll x - 0 ll =llxll (NORME 2) = (x^2)^1/2 = x et on a donc B(a;r) qui est l'ensmbles des x < r d'ou un cercle de centre 0 et de rayon 1 ... é

pour la norme 2 on trouve lxl < r ... et la je bloque ...


Merci d'avance pour votre aide !
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[inviteaa7fccc7]

J'essaie d'avancer, et je pense que mon erreur vient du fait que l'on est dans R^2 et que ce que je viens de faire plus haut c'est que dans R ... mais j'ai quand meme du mal a comprendre ...

[invite6997af78]

Salut,

R^2 c'est ta feuille !

Donc quand tu fais un repere c'est bon.

Sinon pour la norme 1, c'est la somme des valeurs absolues.
Norme 2 c'est la racine des carrés.
L'infini le sup des valeurs absolues.

B(a ; r) c'est une boule de centre a et de rayon r.

Pour la representation de la norme 2 c'est bien le cercle unité centre en 0.

|x| <= r <=> -r <= x <= r (désolé si c'est pas tres lisible...)

Si tu vois pas fais des essais.

Pareil pour l'infini.

Indication : tu devrais trouver des carrés...

[inviteaf48d29f]

Pour la representation de la norme 2 c'est bien le cercle unité centre en 0.

|x| <= r <=> -r <= x <= r (désolé si c'est pas tres lisible...)

Vous faites comme Aleexx, vous vous placez dans ℝ, pas dans ℝ². Il faut deux coordonnées. Avec seulement x, vous obtenez un cercle dans ℝ, ce qui est seulement deux points {-r, r}.

Si on prend (x,y)∈ℝ²
ll(x,y)ll₂<r ⇔ √(x²+y²)<r
⇔ x²+y²<r² (qu'on a le droit d'écrire car r>0)

Or x²+y²=r² c'est l'équation cartésienne d'un cercle, l'inégalité défini bien un disque délimité par ce cercle.

Pour les normes 1 et infini vous vous ramenez aux équations |x|+|y|=r et max{|x|,|y|}=r ce qui vous donne 4 segments de droite selon les signes respectifs de x et y.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6997af78]

Vous faites comme Aleexx, vous vous placez dans ℝ, pas dans ℝ². Il faut deux coordonnées. Avec seulement x, vous obtenez un cercle dans ℝ, ce qui est seulement deux points {-r, r}.

Si on prend (x,y)∈ℝ²
ll(x,y)ll₂<r ⇔ √(x²+y²)<r
⇔ x²+y²<r² (qu'on a le droit d'écrire car r>0)

Or x²+y²=r² c'est l'équation cartésienne d'un cercle, l'inégalité défini bien un disque délimité par ce cercle.

Pour les normes 1 et infini vous vous ramenez aux équations |x|+|y|=r et max{|x|,|y|}=r ce qui vous donne 4 segments de droite selon les signes respectifs de x et y.

C'est vrai c'est pas precisé mais pour moi x\in R^2.

x=(x_1 ; x_2)