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Divergence de Sin(n)



  1. #1
    Calintzz

    Divergence de Sin(n)


    ------

    Bonjour,

    Je voudrais démontré que la suite sin(n) diverge mais je sais pas comment m'y prendre proprement.
    On m'a parlé de sin(n+1)-sin(n) mais je vois pas comment m'en sortir.

    Merci de votre aide et n'importe qu'elle méthode bonne et compréhensible pour un L2 de maths m'ira tres bien.

    -----

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  3. #2
    invité576543
    Invité

    Re : Divergence de Sin(n)

    Citation Envoyé par Calintzz
    Bonjour,

    Je voudrais démontré que la suite sin(n) diverge mais je sais pas comment m'y prendre proprement.
    On m'a parlé de sin(n+1)-sin(n) mais je vois pas comment m'en sortir.

    Merci de votre aide et n'importe qu'elle méthode bonne et compréhensible pour un L2 de maths m'ira tres bien.
    Vers +infini, j'imagine???

    Pour qu'une suite converge, une condition nécessaire (mais pas suffisante) est que la différence entre deux termes consécutifs tende vers 0...

    Cordialement,

  4. #3
    Calintzz

    Re : Divergence de Sin(n)

    Oui oui vers l'infini, justement normalement je pense qu'on le fait par l'absurde, et on devrait trouver que la différence ici ne tend pas vers 0, mais encore faut il y arriver!!

  5. #4
    martini_bird

    Re : Divergence de Sin(n)

    Citation Envoyé par Calintzz
    On m'a parlé de sin(n+1)-sin(n) mais je vois pas comment m'en sortir.
    Salut,

    tu devrais penser à tes identités trigonométriques et en particulier à sin a-sin b=...

    Cordialement.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    martini_bird

    Re : Divergence de Sin(n)

    Citation Envoyé par Calintzz
    Oui oui vers l'infini, justement normalement je pense qu'on le fait par l'absurde, et on devrait trouver que la différence ici ne tend pas vers 0, mais encore faut il y arriver!!
    J'ai du mal à imaginer une divergence vers l'infini alors que la suite est bornée...

  8. #6
    Greyplayer

    Re : Divergence de Sin(n)

    il y a beaucoup plus simple
    si tu connais le principe des suites extraites,c'est-à-dire les suites de la forme (uf(n) )n E N ,
    où f: N->N est strictement croissante, tu dois savoir(quitte à le démontrer) qu'une suite convergeant vers l a toutes ses suites extraites qui convergent vers l
    par contraposition, si une suite a deux suites extraites convergeant vers deux limites différentes diverge
    ex avec u(n)=(-1)^n et les suites extraites u(2n) et u(2n+1)
    pour mmy, sin(n) a peu de chances de tendre vers +infini car sin est borné sur R
    Sauver une vie ne prend que dix minutes:donnez votre sang!

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  10. #7
    Calintzz

    Re : Divergence de Sin(n)

    Excusez abus de language, diverge quand n -> infini.
    Elle diverge à l'infini pas vers l'infini. milles pardons.

  11. #8
    Calintzz

    Re : Divergence de Sin(n)

    C'est impossible à mon niveau (d'après le prof) et meme en général je crois de le faire avec des sous suites extraites.

  12. #9
    Bauj

    Re : Divergence de Sin(n)

    Citation Envoyé par martini_bird
    J'ai du mal à imaginer une divergence vers l'infini alors que la suite est bornée...
    Oui, divergente car pas de limite!

  13. #10
    Odie

    Re : Divergence de Sin(n)

    Citation Envoyé par Greyplayer
    il y a beaucoup plus simple
    Oui... encore faut-il trouver les extractions qui vont bien.
    Là, au premier coup d'oeil, je n'en vois pas trop

    À ce niveau, il vaut mieux regarder la différence sin(n+1) - sin(n) en transformant l'expression comme l'a suggéré martini_bird.

  14. #11
    Calintzz

    Re : Divergence de Sin(n)

    Oui et si quelqu'un a une solution pour sin(n+1)-sin(n) je veux bien car j'ai éssayer plusieurs trucs et ça m'a rien donné.

  15. #12
    Odie

    Re : Divergence de Sin(n)

    Si sin(n) convergeait alors un = sin(n+1) - sin(n) tendrait vers 0.
    Montre que c'est impossible en utilisant la définition de la limite

    (Transforme d'abord un en utilisant sin(p)-sin(q) = 2cos[(p+q)/2]sin[(p-q)/2] )

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  17. #13
    Calintzz

    Re : Divergence de Sin(n)

    Ah oui merci je vais essayer avec celle la je dois bien avouer que je l'avais completement oublié cette égalité trigo la. Je mis met et je vous dis qie je trouve ou pas.

  18. #14
    Calintzz

    Re : Divergence de Sin(n)

    Par de très vilain calcul j'obtiens que limite que l'on va appelé l, est égal soit sqrt(1/2) soit -sqrt(1/2), par d'autre vilains calculs j'obtiens soit l=0 soit l=sqrt(3/4) soit l=-sqrt(3/4).
    Donc je pense que c'est bon on peut dire que ça diverge. Dites moi si je me trompe.
    Sinon s'il existe par malheur un truc plus jolie, plus rapide aussi je veux bien le connaitre.
    Merci de votre aide.

  19. #15
    matthias

    Re : Divergence de Sin(n)

    On peut aussi montrer directement que sin(n) est dense dans [0;1] en utilisant le fait que le groupe Z + 2PI.Z est dense dans R. Je ne sais pas si tu connais ces notions ...

  20. #16
    Calintzz

    Re : Divergence de Sin(n)

    Non je ne connais pas encore ces notions je vais voir ça la semaine prochaine.

  21. #17
    matthias

    Re : Divergence de Sin(n)

    Grosso modo, Z + 2PI.Z dense dans R ça signifie qu'on peut sapprocher autant qu'on veut de n'importe quel réel par des nombres de la forme p + 2PI.q où p et q sont des entiers relatifs.
    et {sin(n) / n dans N} dense dans [0;1] ça signifie qu'on peut s'approcher autant qu'on veut de tout réel dans [0;1] par des nombres de la forme sin(n) avec n entier naturel.
    On peut notamment en déduire que pour tout x dans [0;1] il existe une suite extraite de sin(n) qui converge vers x, et donc bien sûr que sin(n) n'est pas convergente.
    Mais bon, pour l'insant autant t'en tenir à sin(n+1)-sin(n), tu as le temps pour le reste. Si tu ne vois pas ça en L2 ce sera en L3

  22. #18
    Calintzz

    Re : Divergence de Sin(n)

    Merci pour vos réponses toujours aussi rapide.

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  24. #19
    enderalartic

    Re : Divergence de Sin(n)

    Citation Envoyé par matthias
    Grosso modo, Z + 2PI.Z dense dans R ça signifie qu'on peut sapprocher autant qu'on veut de n'importe quel réel par des nombres de la forme p + 2PI.q où p et q sont des entiers relatifs.
    et {sin(n) / n dans N} dense dans [0;1] ça signifie qu'on peut s'approcher autant qu'on veut de tout réel dans [0;1] par des nombres de la forme sin(n) avec n entier naturel.
    On peut notamment en déduire que pour tout x dans [0;1] il existe une suite extraite de sin(n) qui converge vers x, et donc bien sûr que sin(n) n'est pas convergente.
    Mais bon, pour l'insant autant t'en tenir à sin(n+1)-sin(n), tu as le temps pour le reste. Si tu ne vois pas ça en L2 ce sera en L3
    étrange, ca voudrait dire qu à tout x de IR ds [0,1] on peut associer un n , ou une suite de n de IN de plus s il connaissait la densité de sin dans N un peu simple mais bon

  25. #20
    martini_bird

    Re : Divergence de Sin(n)

    Salut,

    la différence vaut

    ll faut démontrer maintenant que la suite ne converge pas vers 0.
    En fait, je crois qu'il y a encore du boulot...

    Cordialement.

  26. #21
    matthias

    Re : Divergence de Sin(n)

    Citation Envoyé par enderalartic
    étrange, ca voudrait dire qu à tout x de IR ds [0,1] on peut associer un n , ou une suite de n de IN de plus s il connaissait la densité de sin dans N un peu simple mais bon
    Euh, désolé, mais je n'ai pas compris
    Tu peux reformuler ?

  27. #22
    matthias

    Re : Divergence de Sin(n)

    Citation Envoyé par martini_bird
    ll faut démontrer maintenant que la suite ne converge pas vers 0.
    En fait, je crois qu'il y a encore du boulot...
    Oui, c'est vrai oublions la densité, pas besoin de sortir l'artillerie lourde à chaque fois.

  28. #23
    invité576543
    Invité

    Re : Divergence de Sin(n)

    Juste une piste (je n'ai pas chercher à formaliser ou même à regarder les détails de la démo, juste un truc à suivre...)

    Une autre artillerie lourde vient des fractions continues. Pour tout N, il existe n>N et p tels que ou quelque chose comme ça. D'où .

    En adaptant cette idée à deux valeurs distinctes, on doit pouvoir extraire deux sous-suites de cos(n+1/2), l'une bornée autour de 1, l'autre autour de -1 (par exemple), avec les bornes telles que les deux intervalles n'ont pas d'intersection.

    Cordialement,

  29. #24
    Greyplayer

    Re : Divergence de Sin(n)

    Citation Envoyé par Odie
    Oui... encore faut-il trouver les extractions qui vont bien.
    Là, au premier coup d'oeil, je n'en vois pas trop
    effectivement ce n'est pas direct avec les suites extraites, mais on y arrive quand même
    on a un entier dans (2kPi+Pi/3;2kPi+2Pi/3) car E(Pi/3)>1
    on l'apelle ak
    or sur cet intervalle, sin(x) est coincé entre sqrt(3)/2 et 1
    donc qqs(quel que soit) k E N, sin(ak ) est entre sqrt(3)/2 et 1
    De même, on a une suite (bk) d'entiers dans
    (2kPi-2Pi/3,2kPi-Pi/3) et donc telle que qqs k, sin(b k )
    soit entre -1 et -sqrt(3)/2
    A present Sq (sin(n)) converge
    soit l sa limite
    l=lim(sin(ak )) est entre sqrt(3)/2 et 1
    l=lim(sin(bk )) est entre -sqrt(3)/2 et -1
    absurde donc (sin(n)) diverge
    Sauver une vie ne prend que dix minutes:donnez votre sang!

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