En parlant de suite et série, je me souviens plus d'un truc, et croyez bien que j'en suis tout honteux !
Je me souviens plus comment on montre que la série 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... divèrge !!!
Désolé de poser une question si bête... Mais merci de prendre le temps de m'éclairer !
En minorant |S(2n) - S(n)|, et en concluant que la suite des sommes partielles n'est pas une suite de Cauchy, par exemple.Envoyé par Evil.Saien
En parlant de suite et série, je me souviens plus d'un truc, et croyez bien que j'en suis tout honteux !
Je me souviens plus comment on montre que la série 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... divèrge !!!
Désolé de poser une question si bête... Mais merci de prendre le temps de m'éclairer !
Est-ce qu'il n'y a pas un moyen plus simple, par exemple en montrant qu'elle est strictement monotone croissante et que pour tout M >0 il éxiste un N0 tels que S(N0)>M...
J'ai essayé de le montrer comme ca, mais il y a quelques petits problèmes...
L'éxplication que tu m'as donné est sans doute correcte, mais ca fait plusieurs années que j'ai pas refait de l'analyse, donc je ne sais plus ce qu'est une suite de cauchy ou "la suite des sommes partielles"...
surement, mais de là à dire que ce serait plus simple ...
suite des sommes partielles:
de Cauchy <=>
Dans IR, suite de Cauchy <=> convergente
Et ici:
Et on en déduit que
Tu as aussi une démo simple en encadrant les (intégrales de f(x) = 1/x entre k et k+1) par 1/k et 1/(k+1), et en sommant.
Tu retrouves ainsi la constante d'Euler.
Evil.Saien,
tu dois sans doute te rappeller du théorème suivant:
"si une fonction f décroit positivement vers 0, alors son intégrale sur lR+ est de meme nature que la série de terme général f(n)"
Suffit d'appliquer ce théorème à la série harmonique de terme général 1/n, puisque tu sais que la primitive de 1/x diverge en l'infini.
Evil.Saien,
tu dois sans doute te rappeller du théorème suivant:
"si une fonction f décroit positivement vers 0, alors son intégrale sur lR+ est de meme nature que la série de terme général f(n)"
Suffit d'appliquer ce théorème à la série harmonique de terme général 1/n, puisque tu sais que la primitive de 1/x diverge en l'infini.je connaissais pas ce théorème... forcement !
Je vous propose une démo sympa, par l'absurde :
On suppose
Alors l'on a :
ce qui manifestement est une contradiction
Voilà, bonne nuit à tous
ah oui, note historique (dans un nouveau message, pour ne pas surcharger le message précédent) : cette démo serait dûe à Johannes Bernoulli (traduite dans le formalisme moderne bien sûr)
C'est joli, mais c'est pas la démo la plus simple. et c'est dommage il y a une coquille sur la dernière ligne
c'est
merci pour la correctionil y a une coquille sur la dernière ligne
c'est
Evil.Saien,
tu dois sans doute te rappeller du théorème suivant:
"si une fonction f décroit positivement vers 0, alors son intégrale sur lR+ est de meme nature que la série de terme général f(n)"
Suffit d'appliquer ce théorème à la série harmonique de terme général 1/n, puisque tu sais que la primitive de 1/x diverge en l'infini.La méthode que j'ai proposée au message #6 revient à le redémontrer dans le cas particulier de f(x) = 1/x
Cela vient simplement du fait que si f est décroissante,
En sommant et en utilisant la relation de Chasles, tu commences à entrevoir le résultat du théorème
[EDIT: merci à la modération d'avoir divisé l'ancien fil]
J'ai 2mn :
si
alors Sn >= n*1/n =1 et donc la nième somme partielle ne tend pas vers 0 quand n tend vers l'infini : la série harmonique diverge ! Non ?
La suite constante un=2 vérifie un>1, donc elle diverge?J'ai 2mn :
si
alors Sn >= n*1/n =1 et donc la nième somme partielle ne tend pas vers 0 quand n tend vers l'infini : la série harmonique diverge ! Non ?
C'est bien de cette série dont on parle ou pas ?
C'était juste pour te montrer que tu as écrit une (très) grosse ânerie: une suite minorée ne diverge pas forcément!
Cordialement.
Je savais bien que pour qu'une série converge il faut que son terme général tende vers 0 quand n-> infini !
bonne journée !
Il faut que son terme dénéral tende vers 0, pas la suite des sommes partielles.
Cette condition est nécessaire mais pas suffisante. Le contre-exemple classique est précisément celui de la série harmonique.
Ah bon je vais revoir mes bases !
