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La série harmonique...



  1. #1
    Sarasvatî

    La série harmonique...


    ------

    J'ai un probléme avec cet exercice...
    On a une suite definie par: Sn= 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n
    1) son sens de variation
    J'ai trouvé que Sn est croissante.
    2) montrer que pour tout n>1, S2n>1/2 +Sn
    3) montrer que cette suite ne peut pas converger.
    J'ai du mal avec les deux dernieres questions, j'ai commencé un raisonnement par récurrence pour la question 2, mais je ne sais pas is je suis sur la bonne voie...
    Pouvez vous m'aider...?!
    Merci

    -----

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  4. #2
    ced-29

    Re : La série harmonique...

    S(2n) = S(n) + 1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/2n
    et 1/2n > ... > 1/(n+2) > (1/n+1)
    donc
    S(2n) > S(n)+n*1/2n

  5. #3
    Flyingsquirrel

    Re : La série harmonique...

    Salut,

    pour la 2° la récurrence n'est pas nécessaire, tu peux le faire en exprimant en fonction de ...
    Dernière modification par Flyingsquirrel ; 31/10/2007 à 18h24. Motif: ...

  6. #4
    Sarasvatî

    Re : La série harmonique...

    Merci pour votre aide!
    Pour la question 3, doit on utiliser le théoréme des "gendarmes"?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    ced-29

    Re : La série harmonique...

    Mais non.
    Fais le par l'absurde.
    Si ta suite converge vers n en +, elle atteindra n+1/2 en 2*+ , ce qui est absurde.
    La suite ne peut donc pas converger

  9. #6
    Antho07

    Re : La série harmonique...

    Citation Envoyé par ced-29 Voir le message
    Mais non.
    Fais le par l'absurde.
    Si ta suite converge vers n en +, elle atteindra n+1/2 en 2*+ , ce qui est absurde.
    La suite ne peut donc pas converger

    On trouve 2 limites différentes or il ya unicité de la limite donc c'est absurde.

    L'unicité de la limite se montre tres facilement.

    VOici la preuve si t'es pas convaincu

    Je n'écris pas la démo comme il le faudrait avec des epsilons et tout mais cela donnera l'idée.

    On suppose qu'une suite Un admet 2 limites l et l'.

    ALors lorsque n tend vers l'infinie,

    |Un-l| tend vers 0
    |Un-l'| tend vers 0

    donc |l-l'|=|l-Un+Un-l'|<= |l-Un|+|Un-l'|

    or lorsque n tend vers l'infinie,

    on a |l-Un|+|Un-l'| qui tend vers 0+0=0

    or une valeur absolue etant positive on a:

    0<=|l-l'|<=0

    et par le théoreme des gendarmes
    |l-l'|=0 soit l=l'

    il ya unicité de la limite.

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  11. #7
    Sarasvatî

    Re : La série harmonique...

    tu veux dire que lim Sn= n + 1/2 quand n--> 2(+infini)?

  12. #8
    kaiswalayla

    Re : La série harmonique...

    Remarque: désigne l'indice qui tend vers ;
    la limite éventuelle fixe de la suite ne doit donc pas être notée par la lettre désignant l'indice lui variable !

    Comme il vient:

    . **

    Donc si , vers qui tend chacun des deux membres de l'inégalité ** ?
    D'où la contradiction.
    Ainsi du théorème: il perd sens et logique quand un mot fait défaut lui ôtant sa valeur

  13. #9
    manilamenoula

    Re : La série harmonique...

    slv pourquoi S(2n)>S(n)+n*(1/(2n) le n*(1/2n) signifie quoi !!!
    Dernière modification par manilamenoula ; 01/02/2015 à 22h00.

  14. #10
    PlaneteF

    Re : La série harmonique...

    Bonsoir,

    Citation Envoyé par ced-29 Voir le message
    (...) en 2*+ (...)
    Citation Envoyé par Sarasvatî Voir le message
    (...) n--> 2(+infini)?
    Attention aux "abus de langages abusifs", ... Ecrire "tend vers " ... ou encore ... "en " (sic) ... n'a pas de sens !

    Cordialement
    Dernière modification par PlaneteF ; 01/02/2015 à 22h41.

  15. #11
    Flyingsquirrel

    Re : La série harmonique...

    Citation Envoyé par manilamenoula Voir le message
    slv pourquoi S(2n)>S(n)+n*(1/(2n) le n*(1/2n) signifie quoi !!!
    Wahou, un fil qui date de 7 ans ! Ca nous rajeunit pas

    L'inégalité sera peut-être plus claire écrite comme ça :


    Est-ce que ça t'aide ?

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