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Demonstration sur les ensembles



  1. #1
    fallen

    Demonstration sur les ensembles


    ------

    Bonjour à tous,
    il m'a été demandé de demontrer ceci :
    Code:
    si A U B = A U C et A ∩ B = A ∩ C alors montrer que B = C
    bon ca semble hyper simple et logique quand j'utilise le "diagramme de venne" mais je voudrais ne pas utiliser celui-ci pour faire la demonstration
    J'ai commencé par ceci:
    {x|x appartient a A ou x appartient a B } = {x|x appartient a A ou x appartient a B }.....
    mais je tourne en rond.
    Quelqu'un pour me mettre sur une meilleure piste ?
    merciii

    -----

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  3. #2
    Odie

    Re : Demonstration sur les ensembles

    Bonjour,

    Essaye d'exprimer par exemple (A U C)∩B de deux manières différentes...

  4. #3
    nissart7831

    Re : Demonstration sur les ensembles

    Bonjour,

    tu peux essayer de démontrer la contraposée i.e :



    soit

    avec:
    = NON
    = OU
    = ET

    Je ne sais pas si c'est le plus synthétique, mais cela se fait en quelques étapes.

  5. #4
    matthias

    Re : Demonstration sur les ensembles

    Citation Envoyé par nissart7831
    Je ne sais pas si c'est le plus synthétique, mais cela se fait en quelques étapes.
    La méthode d'Odie me paraît plus simple, et plus courte aussi. Il suffit d'utiliser la distributivité de l'intersection par rapport à la réunion et ça se déroule tout seul.

  6. #5
    fallen

    Re : Demonstration sur les ensembles

    re !
    Merci pour vos réponses c'est sympa !

    en me basant sur la proposition de Odie, j'obtiens ceci :
    En partant de: A ∩ B = A ∩ C
    on sait que : B =(B∩C) U (B\C) et C = (B∩C) U (C\B)
    alors : A∩[(B∩C) U (B\C) ] = A∩[(B∩C) U (C\B)]
    <=> (A∩B∩C)U[A∩(B\C)] = (A∩B∩C)U[A∩(C\B)

    Mais après hum...lol bon je vais manger et essayer de résoudre ca dans la soirée mais vos solutions sont les bienvenues ( ne m'engueuler pas trop je suis pas douée en maths )

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    matthias

    Re : Demonstration sur les ensembles

    Citation Envoyé par fallen
    en me basant sur la proposition de Odie, j'obtiens ceci :
    En partant de: A ∩ B = A ∩ C
    on sait que : B =(B∩C) U (B\C) et C = (B∩C) U (C\B)
    alors : A∩[(B∩C) U (B\C) ] = A∩[(B∩C) U (C\B)]
    <=> (A∩B∩C)U[A∩(B\C)] = (A∩B∩C)U[A∩(C\B)
    houla, tu es sûre de t'être basée sur la proposition de Odie là ? C'est beaucoup plus simple que ça.

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  10. #7
    Coincoin

    Re : Demonstration sur les ensembles

    Salut,
    Personnellement, mon raisonnement est plus pédestre : on prend x€B, alors premier cas, x€A, alors il appartient à A inter B, donc à A inter C, donc à C. Deuxième cas, x n'appartient pas à A, alors il appartient AUB \ A, donc à AUC \ A, donc à C. Donc B est inclus dans C.
    De même C est inclus dans B. Youpi !
    Encore une victoire de Canard !

  11. #8
    fallen

    Re : Demonstration sur les ensembles

    le raisonnement est il correct ?

    (A U C)∩B = (B∩A)U(B∩C) <->
    B∩(AUB) = (A∩C)U(B∩C) <-> {je remplace les valeurs de
    l'hypothèse)
    (B∩A) U (B∩B) = C∩(AUB) <->
    BU(B∩A) = C∩(AUC) <-> B = C
    (10 ans après lol )

  12. #9
    azt

    Re : Demonstration sur les ensembles

    Bonsoir,
    c'est peut être la fatigue, mais j'ai du mal ici :
    Citation Envoyé par fallen
    (A U C)∩B = (B∩A)U(B∩C) <->
    B∩(AUB) = (A∩C)U(B∩C)
    Je serais plutôt parti sur la formule :
    A U B = A + B + - A ∩ B
    Mais bon, chacun sa méthode.
    Nous sommes toujours de la taille de l'univers que nous découvrons. [Frédérick Tristan]

  13. #10
    Dorn17

    Re : Demonstration sur les ensembles

    T'es dans le vrai Fallen... En fait j'ai procédé de la même façon sauf que je suis parti du fait que B=(A^B) U B (euh...il faut lire A inter B parce que je trouve pas comment mettre le signe)

    A partir de là tu remplaces et tu abouti au résultat.....
    Maintenant amuse toi à chercher une relation entre A et B si on a:

    1- (A "inter" B) "inclus dans" (A "inter" C)
    2-(A U B) "inclus dans" (A U C)

  14. #11
    fallen

    Re : Demonstration sur les ensembles

    bonsoir,
    (A U C)∩B = (B∩A)U(B∩C) <-> B∩(AUB) = (A∩C)U(B∩C)

    j'ai tout betement remplacé AUC par AUB et B∩A par A∩C ainsi de suite en partant de l'hypothese donnée au départ.

  15. #12
    fallen

    Re : Demonstration sur les ensembles

    ok cool Dorn17 je fais ca plutard, j'ai une avalanche de TP qui m'attend pour toute la semaine ^^

  16. Publicité
  17. #13
    azt

    Re : Demonstration sur les ensembles

    C'était bien la fatigue...
    Nous sommes toujours de la taille de l'univers que nous découvrons. [Frédérick Tristan]

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