Ensemble

[invite86127669]

Bonjour,
j'aimerais savoir comment est il possible de résoudre l'exo suivant:
Soit E un ensemble à n éléments.
Soit P={(X,Y) appartient à P(E)² tel que X inter Y = ensemble vide}
Déterminer le cardinal de P.

Merci d'avance et bonne journée
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[Linkounet]

Juste une idée :
Si tu prends X un élément de P(E), alors les éléments de P(E) qui ont une intersection vide avec X sont les éléments de P(E\X) (E privé de x), dont le cardinal est 2 ^(card E-card X). Il suffit ensuite de faire la somme sur P(E), mais en élimant les redondances (c'est à dire que après avoir compté les éléments de type (X, truc), lorsque tu choisis Y, le cardinal des éléments de P(E) qui ne s'intersectent pas avec Y ne sera pas exactement 2^(card E-card Y), mais inférieur car on a déjà compté le couple (X,Y)).

[Médiat]

Bonjour,

Une façon plus simple : à tout élément x de E on fait correspondre :

0 si x est dans X
1 si x est dans Y
2 si x n'est ni dans l'un ni dans l'autre

il reste à compter les applications de E dans {0,1,2}.

[invite86127669]

En fait c'est cette deuxieme solution que l'on m'avais suggéré. J'ai eu cet exercice en colle et je n'ai pas réussi à le résoudre. Mon colleur m'a dit de tout effacer donc j'étais un peu vexé mais je veux le comprendre.
J'ai pensé alors à montrer que phi etait une injection mais je n'y arrivais pas.
(X,Y)
|phi
f: x -> 1, 2 ou 3.
Pouvez m'expliquez où au moins me dire si je suis sur la bonne voie?
Merci d'avance.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ketchupi]

SI on considère x et y tels que leur intersection est nulle, alors x,y, et E\(xUy) est une partition de E. Notons p = Card(x), m = card(y) et card(E\xUy) = card(E)-(card(x)+card(y)) puisque x et y sont disjoints. Il faut enfin utiliser le lemme des bergers.

Cordialement.

[invite86127669]

Bonjour ketchupi.
Je ne suis pas sur d'avoir réussi. En effet j'ai beaucoup de mal avec toutes les théories et autres exercices ensemblistes.
Cependant je ne vois pas comment utiliser le théorème des bergers ici. Je suis sur que c'est tout bête et sous mes yeux mais je ne vois pas du tout...
Merci d'avance pour une nouvelle aide....

[ketchupi]

Voici le lemme des bergers :

Soient E et F deux ensembles finis non vides, p un entier naturel et f une application de E dans F telle que

alors card(E) = p card F.

Card F = 3 d'après ce que suggère médiat, il faut donc déterminer p. Donc comptez les applications qui correspondent au problème. Vous trouverez donc le cardinal de l'ensemble que vous proposez.

++

[Médiat]

Je développe un peu :

Soit (une application de dans )
A on peut associer un et un seul couple de la façon suivante :


Il est facile de vérifier que ces ensembles sont disjoints.
Dans l'autre sens, la donnée de et de deux sous-ensembles disjoints de , permet de définir un et un seul élément de .
Il existe donc bien une bijection entre l'ensemble des couples qui vont bien et , qui ont donc le même cardinal.

[invite86127669]

Bonsoir à tous et merci pour vos multiples explications. Cela m'a vraiment aidé à comprendre les ensembles. C'est super intéressant en fait ^^.
Cela revient donc à compter les applications de E dans {0,1,2} et comme E contient n éléments, on a alors Card (P) = 3^n si j'ai bien compris.
Merci de me confirmer ou non si vous le pouvez.
Bonne soirée à tous et encore merci pour tout.