Ensemble U

**mx6** · 05/04/2009, 09h33

Bonjour,

J'ai commencé à faire ce matin, des exercices sur les complexes niveau MPSI, mais on parle d'un ensemble $\text{[math]}$ que je connais pas !

Voici un type d'exercice :
Trouver $\text{[math]}$ tel que : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

**erik** · 05/04/2009, 09h39

Bonjour,

Je ne connais pas cette notation, mais je me hasarde à émettre une hypothèse :
U comme unitaire, il pourrait s'agir de l'ensemble des complexes de module égal à 1.

invite2220c077 · 05/04/2009, 12h17

Salut,

U, sauf erreur, c'est le cercle unité, donc c'est l'ensemble de tous les complexes ayant pour module 1.

**mx6** · 05/04/2009, 12h32

Oki, merci pour vos réponses !

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**bubulle_01** · 05/04/2009, 16h29

Et on note aussi $\text{[math]}$ l'ensemble des racines nième de l'unité

**mx6** · 05/04/2009, 17h13

Ok merci pour ce plus

invite6db5b418 · 05/04/2009, 17h21

Au passage mx6, comment tu as résolu cette équation ?

**mx6** · 05/04/2009, 17h51

On a $\text{[math]}$ qui forment un losange, donc l'un des nombres vaut 1 et les deux autres sont opposés. Donc $\text{[math]}$

**Thorin** · 05/04/2009, 18h12

Ce genre de résolutions géométrique est très dangereuse !
Rien n'empêche en effet que le quadrilatère ait des côtés qui se croisent, auquel cas toute notre connaissance géométrique tombe à l'eau. Il faut donc apporter beaucoup plus de justifications que le simple "c'est un losange".

Une résolution propre est par exemple, si je ne me suis pas trompé :

on passe au conjugués, que je note $\text{[math]}$ , etc...

on a alors :
$\text{[math]}$
et comme ils sont de module 1 :
$\text{[math]}$ .
ce qui donne :
$\text{[math]}$
mais $\text{[math]}$ , d'où :
$\text{[math]}$

On a ainsi :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Considérant le polynome $\text{[math]}$ , qui s'écrit aussi $\text{[math]}$ , on constate que a,b, et c sont les racines de $\text{[math]}$ .
Or, on factorise à vue d'oeil ce polynôme : $\text{[math]}$ .

Ses racines sont 1, i, et -i, qui conviennent au problème.

**Thorin** · 05/04/2009, 18h31

Pour préciser un peu l'invalidité partielle de la solution de mx6 :
je suppose, mx6, que tu as tenu un raisonnement qui t'a amené à dessiner un quadrilatère du genre de celui dessiné sur l'image de gauche de ce dessin : http://img150.imageshack.us/my.php?image=89775110.jpg

Ici, très bien, on a un quadrilatère dont les côtés ne se croisent pas et font tous la même longueur, donc parallèles deux à deux, etc...

Oui, mais rien, a priori, ne nous dit que le quadrilatère obtenu sera comme le tien. Qu'arrive-t-il si l'on suit un chemin comme indiqué dans le deuxième dessin ? Là, on ne peut a priori plus rien dire, car ce que l'on sait des losanges s'applique uniquement lorsque les côtés ne se croisent pas. Il faut donc alors montrer que ce deuxième cas ne peut en fait pas se produire, ce qui n'est pas complètement évident.

invite2220c077 · 05/04/2009, 18h58

Yo,

J'avais pensé à utiliser les relations de Viète (exo classique quand on a ce type de système, sauf que justement il me manquait ab + ac + bc que je n'arrivais pas à avoir, bien joué

)

Ma solution

On veut résoudre dans $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$

En passant aux modules, on obtient :

$\text{[math]}$ (après développement et simplifications)

On pose $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . L'équation à résoudre ce réécrit : $\text{[math]}$ . On trouve facilement que $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ . Dans tous les cas, $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ . Comme le système est symétrique en $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , on peut toujours supposer $\text{[math]}$ . On veut résoudre maintenant :

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

ou encore $\text{[math]}$ . On voit facilement que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ conviennent, d'où $\text{[math]}$ et permutations.

**mx6** · 05/04/2009, 19h43

Voici un autre :
Soient $\text{[math]}$ . Montrer que $\text{[math]}$ est un rectangle si et seulement si $\text{[math]}$ .

Edit : Très facile avec une petite astuce.

invite6db5b418 · 05/04/2009, 20h12

Envoyé par mx6

Voici un autre :
Soient $\text{[math]}$ . Montrer que $\text{[math]}$ est un rectangle si et seulement si $\text{[math]}$ .

Edit : Très facile avec une petite astuce.

Ben à partir du moment où le centre du cercle circonscrit à un rectangle est le point d'intersection de ses diagonales, c'est pas très dur^^ Le rectangle est symétrique par rapport à l'origine du repère donc la somme des affixes de ses sommets vaut 0

**mx6** · 05/04/2009, 20h17

Bravo

!

**Thorin** · 05/04/2009, 20h21

Mais ceci ne montre pas que si a+b+c+d=0, alors, ABCD est un rectangle.

invite2220c077 · 05/04/2009, 20h21

Salut,

On remarque que comme les modules de a, b, c et d sont égaux à 1, alors O(0) est le cercle circonscrit au rectangle ABCD. Or O est le milieu des diagonales, c'est-à-dire :

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

D'où a+b+c+d = 0.

Reste à traiter la réciproque qui n'est pas très difficile elle aussi.

**Thorin** · 05/04/2009, 20h26

Pour que l'énoncé soit valide, il faudrait en outre supposer a,b,c et d tous distincts les uns des autres, et supposer ABCD quadrilatère convexe, car sinon, on peut prendre a=1, b=-1, c=i et d=-i, et alors, ABCD est croisé, et n'est pas un rectangle (il n'a pas 4 angles droits)

**mx6** · 05/04/2009, 21h00

Complètement d'accord avec toi Thorin !

Voici encore un autre :

Théorème de Napoléon :

Soit $\text{[math]}$ un triangle. On considère les centres $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ des triangles équilatéraux extérieurs construits sur $\text{[math]}$ . Montrer que le triangle $\text{[math]}$ est équilatéral.

Je viens de former un exercice pas mal du tout, très difficile ! A venir, après celui là !

invitecb6f7658 · 05/04/2009, 21h06

Donne pas la réponse trop vite s'il te plaît, je cherche !

invite2220c077 · 05/04/2009, 21h16

L'exercice de Napoléon n'est pas bien difficile ... A coup de rotation (complexe) est c'est fini. La généralisation est plus intéressante :

On construit sur les côtés d'un triangle ABC trois $\text{[math]}$ -gones réguliers, de sorte que ces $\text{[math]}$ -gones soient extérieurs au triangle ABC. Déterminer toutes les valeurs de $\text{[math]}$ tels que les centres de ces trois $\text{[math]}$ -gones forment un triangle équilatéral.

invite6db5b418 · 05/04/2009, 21h23

On dirait un exo du concours Kangourou^^

Et sinon, qu'est-ce que tu appelles un "coup de rotation"^^ parce que là j'ai un peu de mal à voir comment tu montres que c'est pi/3...

invitecb6f7658 · 05/04/2009, 21h39

Simplement avec les rotations je vois pas... j'attends ta solution

Du coup j'ai bidouillé à fond avec les pi/3 bissectrices et autres et finalement j'arrive à le démontrer plus ou moins rigoureusement...

**Thorin** · 05/04/2009, 21h41

bah il suffit d'exprimer le centre de gravité de ABM en fonction de a et de b, idem pour les autres, puis de prendre les côtés, et de voirs qu'ils sont identiques, à multiplication près par l'exponentielle complexe d'argument pi/3...enfin jsuppose, mais la flemme d'écrire.

invitecb6f7658 · 05/04/2009, 21h48

Ok. Cependant y aurait pas une méthode plus ... fine n'est pas le mot mais je veux dire moi bourrin dans le sens où on exprime pas les affixes et boum c'est torché.
(en même temps je dis ca mais si tu voyais l'état dans lequel est ma figure...

)

PS: après question rendement oui oui les rotations en 1 minute c'est plié (encore faut-il y penser), c'est juste pour savoir.

**mx6** · 05/04/2009, 21h48

Indice :

Soit $\text{[math]}$ le centre du triangle extérieur construit sur le coté $\text{[math]}$ . Alors l'angle $\text{[math]}$ , si on pose $\text{[math]}$ , alors d'après le cours $\text{[math]}$ .

Pourquoi ?
Tout simplement car dans un triangle équilatéral, le médiatrices, sont confondues, aux médianes, bissectrices. Donc si $\text{[math]}$ centre du triangle $\text{[math]}$ . Alors $\text{[math]}$ et l'angle vaut $\text{[math]}$ . Tracer une figure pour voir

Enfaite, voilà l'exercice est résolu de cette manière. (Apparemment, grand classique en prépas).

invitecb6f7658 · 05/04/2009, 21h50

Arf, et pour le prolongement de Zweig vous allez nous faire le coup des rotations aussi?

(non pas la flemme d'écrire mais de chercher moi

invite2220c077 · 05/04/2009, 21h53

Envoyé par mx6

(Apparemment, grand classique en prépas).

Grand classique en T°S plutôt, c'est un des premiers exos que j'ai fait en classe comme application des rotations et j'ai vu qu'on le voyait dans pas mal de bouquins.

invitecb6f7658 · 05/04/2009, 21h57

Envoyé par -Zweig-

Grand classique en T°S plutôt, c'est un des premiers exos que j'ai fait en classe comme application des rotations.

Je m'étais arrêté au coup du carré qui tourne.

Sinon mx6 dans ce que tu as écrit, ce serait pas plutôt $\text{[math]}$ ?

invite2220c077 · 05/04/2009, 22h02

Comme j'ai la flemme de rédiger la solution, voyez l'exercice 13 : http://pagesperso-orange.fr/gilles.c...s/excplx03.pdf

**mx6** · 05/04/2009, 22h07

Envoyé par Apprenti-lycéen

Je m'étais arrêté au coup du carré qui tourne.

Sinon mx6 dans ce que tu as écrit, ce serait pas plutôt $\text{[math]}$ ?

Non

Si $\text{[math]}$ est l'image de $\text{[math]}$ par la rotation d'angle $\text{[math]}$ et de centre $\text{[math]}$ , alors : $\text{[math]}$

Ensemble U

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Re : Ensemble U

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