Ensemble U

[invite6db5b418]

Je pense qu'on pouvait aussi le faire en trouvant la mesure des côtés avec Al kashi, mais là j'ai un peu tendance à suivre le mouvement de flemme généralisée^^

D'ailleurs, bonne nuit à tous
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[invite2220c077]

Pour la généralisation, à la demande de mx6 :

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Soient , et les centres des n-gone réguliers construits sur les côtés , et respectivement.

Les angles , et ont comme mesure . On pose et on note , , , , et les coordonnées respectives des points A, B, C, , et .

En utilisant la formule de rotation, on obtient :





Ainsi, , et

Or le triangle est équilatéral si et seulement si :



En substituant les valeurs de , et on obtient :



Qui est équivalent à :

Il s'ensuit que , c'est-à-dire . Ainsi .

En définitive, seule répond au problème.

[invite9a322bed]

Super Zweig !

Bon pour comprendre cette démonstration, je vous donne cet exercice très classique (pas à toi Zweig ).

On considère les points d'affixe respectivement . Démontrer que est équilatéral, si et seulement si .

Cette propriété étant utilisée dans la démo.

[invitecb6f7658]

Non

Si est l'image de par la rotation d'angle et de centre , alors :

Oh! honte à moi ...

[invitec317278e]

Maintenant, essayez de voir si cette généralisation est vraie : on prend un n-gone convexe, on construit sur ce n-gone n n-gones réguliers, et on voit si le n-gone formé par les centre est lui même un n-gone régulier

[invite9a322bed]

le n gone d'origine est régulier aussi je suppose ? Tu ne l'as pas précisé .

Par conjecture, je dirais que oui !

[invitecb6f7658]

Ok j'essaie de me rattrapper :

Soit le triangle a priori quelconque où etc. en permutant.

on a d'après Al-Kashi

Or si ABC est équilatéral, alors
d'où etc.
devient alors :

d'où ABC équilatéral si et seulement si

note : et sont des angles, j'ai juste pas su trouver comment y mettre des circonflexes

[invite9a322bed]

lool
ce sont les affixes des points et .

Si c'était des longueurs de côtés pas la peine de passer par Al Kashi ni rien, si triangle équilatéral, alors soit soit .

[invitecb6f7658]

lool
ce sont les affixes des points et .

Si c'était des longueurs de côtés pas la peine de passer par Al Kashi ni rien, si triangle équilatéral, alors soit soit .

aie aie aie !

Au moins ça t'aura fait rire
Mais t'inquiète pas j'arrive avec tes affixes ^^

[invite2220c077]

Il te manque la réciproque mx6. Tu as juste montré que si ABC était un triangle, alors la relation est vraie.

[invitecb6f7658]

Bon alors je me lance sans conviction aucune...

On a le fameux triangle de centre (que j'ai choisi comme origine d'un repère orthonormal)

On suppose premièrement équilatéral.
On pose
Ainsi



donc



alors



d'où

d'où le résultat en passant aux modules...

A présent on cherche à montrer que si on a cette égalité, est équilatéral.

Je vérifie un truc et je poste la suite ...

[invite9a322bed]

L'idée est bonne. Mais à partir de la deuxième partie, tu foires. Essaye d'exprimer r en fonction des autres paramètres. Et là hop, tu poses une équation par transitivité

[invitecb6f7658]

D'accord mais peux-tu me détailler plus précisément ce qui est faux s'il te plaît?

Suite avec ta correction :

on a r=\frac{c}{a}=\frac{b}{c}=\fra c{a}{b}
d'où
c=\frac{a^2}{b}
b=\frac{c^2}{a}
et a==\frac{b^2}{c}

d'où le résultat

[invitecb6f7658]

J'ai oublié les balises du coup c'est tout moche pour les yeux, voilà :
on a
d'où


et

bon alors ; et

edit : un facteur b sort de nulle part dans la première égalité, allez comprendre...

[invite9a322bed]

Ok, voici la solution (car je pars dormir),

Soit un triangle équilatéral direct. On note . On a image de par la rotation de centre et d'angle . Idem pour et mais de centre .
Alors, d'après la formule de rotation dans le plan complexe on a :
-
-

Par transitivité :

.

Pour la réciproque, suffit de faire un marche arrière de la démarche suivie.

[invitecb6f7658]

Ok ty, ton truc est plus clean (même si tu galères avec les balises également ^^).
Ma marche arrière pour la réciproque aurait été plus laborieuse sans doute.

Sur ce, bonne nuit.

[invite6db5b418]

Bien vu pour la démo Zweig, j'en étais loin^^

Et mx6, t'aurais pas du donner la réponse, je l'avais trouvée...

Enfin, pour pour un n-gone il est évident que ça ne marche pas, à moins que celui d'origine soit régulier, mais ça c'est pas très dur à prouver...

[invite9a322bed]

Voici un exo pour un champion :

Théorème de Morley :

En utilisant les complexes, prouver que : « Les intersections des trisectrices des angles d'un triangle forment un triangle équilatéral ».

Très difficile à faire.

[invite6db5b418]

Ourgh, c'est normal que je me perde dans des formules trigonométriques sans queue ni tête ?

Mais j'approche quand même de quelque chose, je pense que je peux y arriver^^

[invitecb6f7658]

Vous ne dormez ni n'avez jamais cours? oO

Pour ton "mords-les" (désolé plus fort que moi) si tu donnes la réponse fais-le en spoilant parce que cette fois-ci je veux trouver la réponse

[invite6db5b418]

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Bon alors, soit le triangle . Les trissectrices de et se coupent en , celles de et en et celles de et en . Essayons de montrer que le triangle est équilatéral. (Je prends à chaque fois l'intersection des trissectrices qui est la plus proche du côté entre les angles donc les trissectrices de croisent, vous voyez ?)


Donc dans le triangle , je prends les trissectrices donc j'ai:




Je sais que donc

Prenons comme unité le rayon du cercle circonscrit égal à . On a donc son diamètre égal à .
D'où
Soit
De la même manière on a :
AB=
AC=

Je me mets maintenant dans le triangle BPC, et j'applique la loi des sinus. J'ai donc :
.
Donc

Jusque là, ça va, ensuite j'essaye de simplifier ça et je me perds dans des relations trigonométriques sans fin^^

Au final (et aussi parce que ça m'arrange un peu^^) j'obtiens :


D'où

Je fais la même chose pour BR et j'obtiens donc tout naturellement :


Maintenant que j'en suis là, j'utilise Al Kashi dans le triangle . Et là, j'obtiens la formule cauchemardesque :
(c'est là qu'on se dit que le laTeX c'est quand même vachement bien^^

Donc là j'ai un truc bien indigeste mais je pense qu'on peut simplifier la partie entre crochet en disant que ça fait non ?
Genre supposons un triangle avec des angles , et et dont le rayon du cercle circonscrit fait .
On a bien
et on a donc le côté opposé à b qui fait .
D'où d'après Al kashi :


et si on simplifie par 4 on a : (pas trop sûr de moi sur ce coup)

Parce que comme ça j'ai :
et je suppose que si je fais la même chose pour les autres côtés j'obtiens trois fois la même chose... Ce serait logique étant donné que ça prend en compte les trois angles...

Bon, je suis désolé j'ai pas bien peaufiné la fin mais bon, c'est pas trop humain de se lancer dans ce genre de démonstrations de bon matin^^ Et puis y'a trois chances sur 4 que y'ait un foirage dès le début alors bon, j'ai pas envie de perdre trop de temps à chercher dans le vide...

[invite2220c077]

Salut,

Je t'avais dit hier que j'avais une piste pour ton problème, j'ai finalisé ma solution ce matin (je n'ai pas utilisé les complexes), non sans mal !

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Soit RQP le triangle équilatéral obtenu. Pour simplifier certaines formules, on notera . Aussi, , et . Ainsi, . est le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC.

On applique la loi des sinus au triangle ABC. On obtient . On l'applique une deuxième fois au triangle BPC :



d'où



Or , d'où



D'après le théorème d'Al-Kashi appliqué au triangle BPR :



Or , ainsi nous pouvons réappliquer le théorème d'Al-Kashi au triangle d'angles sus-cités et de côtés , et , en supposant, sans perte de généralité, R = 1 :



On en déduit alors . Un raisonnement analogue permet de montrer que les autres côtés vérifient cette relation, d'où le triangle PQR équilatéral.

Ouf !

EDIT : Grillé ...

[invite9a322bed]

Beau travail (même si j'ai demandé une démonstration par les complexes).

Voici un exercice pour la démonstration par les complexes, si vous voulez le faire par curiosité : http://mapage.noos.fr/r.ferreol/atel..._de_Morley.pdf .

Je vous donne un autre exercice :

Soit , , trois triangles équilatéraux directs (de dimensions quelconques).
On note le milieu de , le milieu de et le milieu de .
Quelle est la nature du triangle ?

D'après une énigme du quotidien Le Monde, aout 2005

Pour vous faire gagner du temps :

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Vous pouvez conjecturer qu'en obtient un triangle équilatéral, reste à le démontrer