Valeur absolue d'un ensemble !

[ichigo01]

Salut à tous,

Dans un exercice on utilise la notation |A| avec A un ensemble, mais je ne vois pas du tout qu'est ce que ça veut dire ?
Quelqu’un aurait un petite idée ?

Merci !
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[lémathdabor]

normalement c'est le cardinal sauf erreur ....

[Tiky]

Salut,

C'est une notation pour désigner le cardinal de A.

[ichigo01]

D'accord, merci beaucoup !

Dans un exercice on doit montrer que l'ensemble est finie avec f une fonction croissante de [a,b] dans R.

Dans la solution on dit que
Je ne vois pas du tout la relation entre le cardinal de J(n) et f(b) - f(a) ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[taladris]

Salut!

Le lien entre le cardinal de J(n) et f(b)-f(a) est le suivant:
l'ensemble J(n) est l'ensemble des points où une fonction f croissante est discontinue et a un "saut" plus grand qu'une certaine valeur strictement positive (ici 1/n). Il est intuitivement logique que si J(n) est trop grand, i.e. s'il y a trop de sauts, alors au bout d'un certain temps, f atteindra des valeurs trop grandes (plus grande que f(b)). Reste à formuler cela mathématiquement. Un dessin aide beaucoup.

Cordialement

[ichigo01]

Salut!

Le lien entre le cardinal de J(n) et f(b)-f(a) est le suivant:
l'ensemble J(n) est l'ensemble des points où une fonction f croissante est discontinue et a un "saut" plus grand qu'une certaine valeur strictement positive (ici 1/n). Il est intuitivement logique que si J(n) est trop grand, i.e. s'il y a trop de sauts, alors au bout d'un certain temps, f atteindra des valeurs trop grandes (plus grande que f(b)). Reste à formuler cela mathématiquement. Un dessin aide beaucoup.
Cordialement

Merci, mais je ne comprend pas comment f va atteindre des valeurs plus grande que f(b) alors que f est croissante i.e : ? !!

[taladris]

OK, mon message précédent n'était peut-être pas tout à fait clair.

C'est justement parce que f est croissante et donc que les valeurs de f sur [a,b] sont majorées par f(b) qu'il ne peut pas y avoir beaucoup de "sauts". Et donc que le cardinal de J(n) est majoré.

L'exemple à avoir en tête est celui de la partie entière E(x).

[ichigo01]

Merci, je viens de comprendre. Le nombre de saut est finie puisque comme vous avez dit si le nombre de saut est très grand (infini) à un certain moment f va être supérieur à f(b) !
Mais comment le formuler mathématiquement, c'est à dire : trouver une relation entre le nombre de saut et la valeur de la fonction en b !

[ichigo01]

Grâce à un dessin, je suis arrivé à comprendre la relation entre f(b) - f(a) et le nombre de sauts.

En effet, puisque la fonction est croissante les "images" de deux sauts successifs sont "disjoints", ce qui fait que la somme des "images" des sauts est toujours strictement inférieur à f(b) - f(a) (facile à voir sur un dessin).

Reste à le formuler mathématiquement, ce que je trouve est le plus difficile !

Merci encore taladris !

[taladris]

Il "suffit" de reformuler la preuve intuitive qu'on a esquissé. Le mieux est de rédiger par l'absurde et de transformer la différence f(b)-f(a) pour faire apparaître la somme des sauts f(y+)-f(y-).
Je te mets la solution en spoiler si tu veux chercher un peu plus.

 Cliquez pour afficher

Supposons que soit supérieur ou égal à . Comme c'est un cardinal, il est en réalité supérieur à (où E est la fonction partie entière). En particulier, on a

Soit des éléments distincts de . On a alors:

(car f est croissante).

Mais le second membre vaut et est supérieur à (toujours la croissance de f)
Donc

En répétant ce procédé, on obtient .

C'est absurde, et donc le cardinal de J(n) est bien majoré par

Le corollaire intéressant de cet exercice (c'est sûrement une des questions de ton exercice d'ailleurs) est que tout fonction de R dans R croissante a au plus un nombre dénombrable de discontinuités.