Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 8 sur 8

Montre que f est linéaire



  1. #1
    sknbernoussi

    Montre que f est linéaire


    ------

    Bonsoir, l'énoncé d'un exo est le suivant
    soit f une fction croissante de R dans R tq
    Montrer que f est linéaire cad, qu'il existe un tq
    J'ai pu le démontrer pr x entier et x rationnel, par contre je bloque pr x irrationnel , et je ne vois pas comment je pourrai utiliser la croissance de f pouvez vous me donner un indice svp ..

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    Snowey

    Re : Montre que f est linéaire

    Bonsoir !

    je pense qu'il manque une condition: la dérivabilité de la fonction f.

    Raisonnons par Analyse Synthèse:
    Soit f une fonction vérifiant, pour tout couple de réels (x,y) la relation fonctionnelle (F) .
    On a en particulier, en posant x=y=0, .
    Si on suppose f dérivable, en fixant y et en dérivant par rapport à x on obtient l'égalité vraie quels que soient x et y. Une fois de plus, si l'on pose x=0 on a .
    D'où .
    Or, cette égalité est vraie lorsque x est nul, i.e. .
    Par analyse, on trouve donc que l'ensemble des fonctions dérivables sur et qui vérifient (F) sont les fonctions telles que .

    La Synthèse est immédiate: pour tout a, x,y réels.

    Les fonctions recherchées sont donc bien les fonctions linéaires.

    Qu'en pensez vous ?
    "... I am the master of my fate, I am the captain of my soul." Henley

  4. #3
    sknbernoussi

    Re : Montre que f est linéaire

    Votre raisonnement me paraît juste,
    dc vous pensez que la croissance de f seule est une condition insuffisante, n'est ce pas ?

  5. #4
    Linkounet

    Re : Montre que f est linéaire

    ça revient à montrer que sa dérivée est constante, soient a et b deux réels tel que b = a +h, montrons que f'(a) = f'(b)
    Comme f(x) = f(x+y)-f(y) pour tout x,y, après dérivation, on a f'(x) = f'(x+y) donc f'(a) = f'(a+h) = f'(b).

    Mais pour être correct il faut justifier qu'elle est dérivable.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    God's Breath

    Re : Montre que f est linéaire

    Citation Envoyé par sknbernoussi Voir le message
    soit f une fction croissante de R dans R
    Si , alors : .

    Citation Envoyé par sknbernoussi Voir le message
    Montrer qu'il existe un tq
    J'ai pu le démontrer pr x rationnel
    Si, de plus, et sont rationnels, alors : .
    Il n'est plus très difficile de conclure à : pour tout nombre réel .
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  8. #6
    Linkounet

    Re : Montre que f est linéaire

    Enfait je pense qu'on peut justifier la dérivabilité comme suit :

    Soit un point x0, la limite quand h tend vers 0 de (f(x0+h)-f(x0))/h est la limite f(h)/h quand h tend vers 0, il suffit de montrer qu'elle est dérivable en 0, comme elle est croissante, il suffit de montrer que ce quotient est borné, or f(h/n) / (h/n) = f(h), le quotient est donc borné et même constant.
    Dernière modification par Linkounet ; 02/11/2011 à 20h32.

  9. Publicité
  10. #7
    sknbernoussi

    Re : Montre que f est linéaire

    je suis désolé de paraître lente god's breath mais je ne vois pas comment conclure que f(x)=ax si on a ap<=f(x)<=aq

  11. #8
    God's Breath

    Re : Montre que f est linéaire

    Les rationnels sont denses dans R, on peut donc en choisir aussi près que l'on veut de x.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

Discussions similaires

  1. ma réponse est-elle juste? Équation différentielle linéaire du deuxième ordre
    Par anouarattn dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 3
    Dernier message: 24/05/2011, 20h19
  2. Une molécule linéaire est-elle plane?
    Par invite765434561 dans le forum Chimie
    Réponses: 3
    Dernier message: 24/09/2010, 17h26
  3. générateur linéaire où en est-on ?
    Par trimix dans le forum Technologies
    Réponses: 2
    Dernier message: 22/01/2009, 22h10
  4. Le temps est il linéaire
    Par lyapounov dans le forum Physique
    Réponses: 3
    Dernier message: 14/12/2008, 13h31
  5. resolution des equation differentielle lineaire et n-lineaire
    Par TToufik dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 3
    Dernier message: 10/08/2004, 14h02