Montre que f est linéaire

[sknbernoussi]

Bonsoir, l'énoncé d'un exo est le suivant
soit f une fction croissante de R dans R tq
Montrer que f est linéaire cad, qu'il existe un tq
J'ai pu le démontrer pr x entier et x rationnel, par contre je bloque pr x irrationnel , et je ne vois pas comment je pourrai utiliser la croissance de f pouvez vous me donner un indice svp ..
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[Snowey]

Bonsoir !

je pense qu'il manque une condition: la dérivabilité de la fonction f.

Raisonnons par Analyse Synthèse:
Soit f une fonction vérifiant, pour tout couple de réels (x,y) la relation fonctionnelle (F) .
On a en particulier, en posant x=y=0, .
Si on suppose f dérivable, en fixant y et en dérivant par rapport à x on obtient l'égalité vraie quels que soient x et y. Une fois de plus, si l'on pose x=0 on a .
D'où .
Or, cette égalité est vraie lorsque x est nul, i.e. .
Par analyse, on trouve donc que l'ensemble des fonctions dérivables sur et qui vérifient (F) sont les fonctions telles que .

La Synthèse est immédiate: pour tout a, x,y réels.

Les fonctions recherchées sont donc bien les fonctions linéaires.

Qu'en pensez vous ?

[sknbernoussi]

Votre raisonnement me paraît juste,
dc vous pensez que la croissance de f seule est une condition insuffisante, n'est ce pas ?

[Linkounet]

ça revient à montrer que sa dérivée est constante, soient a et b deux réels tel que b = a +h, montrons que f'(a) = f'(b)
Comme f(x) = f(x+y)-f(y) pour tout x,y, après dérivation, on a f'(x) = f'(x+y) donc f'(a) = f'(a+h) = f'(b).

Mais pour être correct il faut justifier qu'elle est dérivable.

[A voir en vidéo sur Futura]

[God's Breath]

soit f une fction croissante de R dans R

Si , alors : .

Montrer qu'il existe un tq
J'ai pu le démontrer pr x rationnel

Si, de plus, et sont rationnels, alors : .
Il n'est plus très difficile de conclure à : pour tout nombre réel .

[Linkounet]

Enfait je pense qu'on peut justifier la dérivabilité comme suit :

Soit un point x0, la limite quand h tend vers 0 de (f(x0+h)-f(x0))/h est la limite f(h)/h quand h tend vers 0, il suffit de montrer qu'elle est dérivable en 0, comme elle est croissante, il suffit de montrer que ce quotient est borné, or f(h/n) / (h/n) = f(h), le quotient est donc borné et même constant.

[sknbernoussi]

je suis désolé de paraître lente god's breath mais je ne vois pas comment conclure que f(x)=ax si on a ap<=f(x)<=aq

[God's Breath]

Les rationnels sont denses dans R, on peut donc en choisir aussi près que l'on veut de x.