Bonsoir, l'énoncé d'un exo est le suivant
soit f une fction croissante de R dans R tq
Montrer que f est linéaire cad, qu'il existe un
J'ai pu le démontrer pr x entier et x rationnel, par contre je bloque pr x irrationnel , et je ne vois pas comment je pourrai utiliser la croissance de f pouvez vous me donner un indice svp ..
Bonsoir !
je pense qu'il manque une condition: la dérivabilité de la fonction f.
Raisonnons par Analyse Synthèse:
Soit f une fonction vérifiant, pour tout couple de réels (x,y) la relation fonctionnelle (F)
On a en particulier, en posant x=y=0,
Si on suppose f dérivable, en fixant y et en dérivant par rapport à x on obtient l'égalité
D'où
Or, cette égalité est vraie lorsque x est nul, i.e.
Par analyse, on trouve donc que l'ensemble des fonctions dérivables sur
La Synthèse est immédiate:
Les fonctions recherchées sont donc bien les fonctions linéaires.
Qu'en pensez vous ?
Votre raisonnement me paraît juste,
dc vous pensez que la croissance de f seule est une condition insuffisante, n'est ce pas ?
ça revient à montrer que sa dérivée est constante, soient a et b deux réels tel que b = a +h, montrons que f'(a) = f'(b)
Comme f(x) = f(x+y)-f(y) pour tout x,y, après dérivation, on a f'(x) = f'(x+y) donc f'(a) = f'(a+h) = f'(b).
Mais pour être correct il faut justifier qu'elle est dérivable.
SiEnvoyé par sknbernoussi
Si, de plus,Montrer qu'il existe un
J'ai pu le démontrer pr x rationnel
Il n'est plus très difficile de conclure à :
Enfait je pense qu'on peut justifier la dérivabilité comme suit :
Soit un point x0, la limite quand h tend vers 0 de (f(x0+h)-f(x0))/h est la limite f(h)/h quand h tend vers 0, il suffit de montrer qu'elle est dérivable en 0, comme elle est croissante, il suffit de montrer que ce quotient est borné, or f(h/n) / (h/n) = f(h), le quotient est donc borné et même constant.
je suis désolé de paraître lente god's breath mais je ne vois pas comment conclure que f(x)=ax si on a ap<=f(x)<=aq
Les rationnels sont denses dans R, on peut donc en choisir aussi près que l'on veut de x.
