Exo L1-Analyse Fonction

[invitee307e68c]

Bonjour,

J'ai un exercice de maths à faire, mais j'ai des difficultés pour le résoudre.

Voilà l’énoncé : Soit c /varepsilon ] 0 ;1 ]. On dit que c est une corde universelle si pour toute fonction f continue de ]0;1] dans \mathbb{R} et telle que f(0)=f(1), on peut trouver a /varepsilon [0 ; 1-c ] vérifiant f(a) = f(a+c)

Q 1 : Vérifier que 1 est une corde universelle
==> c=1 et donc a /varepsilon [0 ; 0] donc a = 0
f(0) = 0
f(0) = f(0+1) ==> f(0) = f(1)

Donc 1 est une corde universelle.

Q2 : On considère une fonction continue f : [0,1] ==> \mathbb{R} et n /varepsilon \mathbb{N}. Pour x /varepsilon [0, 1-1/n ], on note :

\delta = f( x + 1/n ) - f(x)

a)Montrer que la fonction /delta est continue sur [0, 1-1/n ]
==> J'ai tenté plusieurs choses, mais je n'y suis pas arriver

b)On cherche à calculer la somme :
sum_{k=0}^n-1 \delta \left( \begin{array}{c} k \\ n \end{array} \right) = \delta (0 ) + \delta \left( \begin{array}{c} 1 \\ n \end{array} \right) +....+ \left( \begin{array}{c} n-1 \\ n \end{array} \right)

Traiter les cas n=1,n=2,n=3.
==> \forall n , on trouve -f(0) +f(1)
Démontrer le cas général : Pas réussi.

c) Montrer qu'il existe j, k /varepsilon {1,...,n-1} tels que \delta \left( \begin{array}{c} j \\ n \end{array} \right) > 0 et \delta \left( \begin{array}{c} k \\ n \end{array} \right) <0
==> Pas réussi non plus

d) En déduire que 1/n est une corde universelle. Ben pas possible de la faire vu que je réussis par les Q précédentes


Q3 : Application : un cycliste parcout une distance de 24 km en une heure. Montrer qu'il y a un intervalle de temps de 15 min pendant lequel il a parcouru exactement 6 km. ( On pourra considérer la fonction t ==> f(t) -24t où f(t) est la distance parcourue après un temps t )



Voilà , si des gens sont motivés pour m'aider, je les remercies énormément
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[invitee307e68c]

Étant donner le carnage des symboles, j'ai fais un scan du DM :

[inviteea028771]

Pour la 2)a), je dirai simplement que x+1/n est continue donc f(x+1/n) est continue (comme composée de deux fonctions continues) donc d(x) est continue par somme de deux fonctions continues

Pour le 2)b), il suffit de remplacer d(k/n) par sa valeur et de remarquer que l'on a une série telescopique :



Pour la 3), Je ne suis pas tout à fait d'accord avec l'énoncé (pour moi c'est faux si on prend les j et k dans {1,...n-1}, par contre ça marche dans {0,...,n-1} )

suppose que on ai

On aurai alors (une somme de termes strictement négatifs)

Or , ce qui est contradictoire.

Donc il existe tel que

De même pour montrer l'existence du k.

Pour la question 4), on a et et f continue, donc par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe x entre j/n et k/n tel que d(x) = 0.

Donc il existe un x tel que d(x) = 0, c'est à dire f(x+1/n) = f(x), donc 1/n est une corde universelle

[invitee307e68c]

Salut,

MErci de m'avoir répondu
Je vais refaire les questions avec comme support tes réponses,

Merci beaucoup.

Si des gens ont des idées ou des moyens différents, merci de m'en faire part.

Merci encore

Bonne soirée

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee307e68c]

Salut,

J'ai compris les questions 2 et 4, mais la 3 me laisse perplexe...

Tu pourrais développer un peu plus ta réponse s'il te plait ?

Merci