Et encore un exo d´analyse complexe

[invitee75a2d43]

voila encore un exo d´analyse complexe, une limite très connue du moins dans sa restriction aux réels.

Prouver que la limite quand n -> l´infini de (1 + z/n)ⁿ = e^z.

Je sais le prouver dans sa restriction aux réels mais pour ça j´utilise le logarithme qui ici n´existe pas forcément.

que faire
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[invite2c3ff3cc]

Bon, piske personne s'y colle, deux façons par ex (grandes lignes) :

Ecris z = x + i y et et regarde les limites de et (ça s'exprime facilement).

Ou :

pour |z| < r et

coupe en deux (avant et après p), développe avec le binôme et remarque que les coeff et z^k y sont plus petits que 1/k!

(on montre même la conv uniforme d'ailleurs sur tout compact).

[invitee75a2d43]

je vais voir ça, merci

[invitee75a2d43]

Bon, j´ai réfléchi à ta première solution.

Pour la limite de r_n, pas de problème on se retrouve dans un problème de limite réelle classique.

Pour la limite de _n, j´ai un tout petit problème, j´ai fait comme ça:

J´appelle l´argument de
J´appelle _n l´argument de
Donc _n = n.

La tangente de est : .

Cette tangente tend vers 0 pour n -> +oo, donc en +oo, et tan sont équivalents. Donc quand n tend vers +oo, ntan = n, ou plutôt:

en +oo
lim n = lim n.tan = y

Est-ce que j´ai le droit d´argument comme ça?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee75a2d43]

Par contre, ta deuxième solution, je vois pas du tout. C´est quoi ce r?