Encore une exo d´analyse complexe

[invitee75a2d43]

Rebonjour, voilà encore un exo qui au premier abord me paraissait facile....

Dessiner les images par l´exponentielle des demi-droites issues de l´origine.

J´appelle D la demi-droite faisant un angle avec l´axe des x.

z D z = r.e^i.
avec r 0 et [0, 2[

Les solutions "triviales" sont:
= 0: alors la exp(D ) est la demi-droite des x positifs.
= : Alors e^z = e^ri : alors l´image de la droite est le cercle unité, de même pour pour = -

C´est pour les autres cas que ça coince: J´écris z = r.cos + ri. sin

e^z = e^r.cos . e^ri.sin
Donc pour fixé, m´a l´aire d´une espèce de spirale qui démarre sur le cercle unité en (1,0) et qui croît indéfiniment pour cos positif et décroît vers (0,0) si cos est négatif, mais ceci dit je ne sais même pas si une spirale est définie mathématiquement et je ne sais pas comment prouver la chose.
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[invitea3eb043e]

Ca fait un morceau de spirale exponentielle car théta varie entre 2 limites.