Formes différentielles

[invitee75a2d43]

bonjour,

je me paume dans la compréhention des formes différentielles. J´ai compris ce qu´est le dual d´un espace vectoriel et sa base duale. Je lis
(dx₁, dx₂.... dx_n) est la bas duale de E, donc chaque dx_i est une forme linéaire "élémentaire".

Mais je lis après: une forme différentielle w s´exprime de manière unique:

w(u) = a₁(u).dx₁ + .... + a_n(u).dx_n

où a₁... a_n sont des fonctions de classe Ck sur U.

Là où je me paume: les a_i sont-elles elles mêmes des formes linéaires? Puisque a_i(u).dx_i est une multiplication de a_i(u) par dx_i, a_i(u) est un scalaire, donc a_i est une application de U dans le corps IK non?

Question simple mais compliquée

merci d´avance
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[invite57a1e779]

Bonjour,

une forme différentielle w s´exprime de manière unique:

w(u) = a₁(u).dx₁ + .... + a_n(u).dx_n

où a₁... a_n sont des fonctions de classe Ck sur U.

Là où je me paume: les a_i sont-elles elles mêmes des formes linéaires? Puisque a_i(u).dx_i est une multiplication de a_i(u) par dx_i, a_i(u) est un scalaire, donc a_i est une application de U dans le corps IK non?

Les sont bien des applications à valeurs dans , mais on ne peut pas leur demander d'être linéaire : elles sont définies sur qui n'est pas un espace vectoriel.

[invitee75a2d43]

Merci de ta réponse rapide, et excuse la mienne tardive. Je suis rassuré que tu me confirmes ce que j´avais supposé. Mais il y a encore quelquechose qui me chagrine: Dans les explications d´une forme différentielle, on prend pour exemple classique la différentielle Df d´une application d´une e.v. E vers un e.v. F.
Or une telle différentielle est une application linéaire de E vers F, et non pas une application linéaire de E sur l´ensemble des formes linéaires de F. Y a pas contradiction?