Formes différentielles

[invite42abb461]

Bonjour, je n'arrive pas a faire le lien entre l'objet défini dans le cours, et la facon dont on l'utilise en pratique.
Par exemple, quand on écrit pour x=cos(t) :
dx=-sin(t) dt
Pour moi un dx, d'apres le cours, c'est une application de R^n dans l'ensemble des formes linéaires de (R^n). Je me doute qu'il y a des simplifications d'ecriture qui permettent d'expliquer la notation :
dx=-sin(t) dt mais je ne vois pas lesquelles.
Du coup j'ai des lacunes pour comprendre bien la definition d'une intégrale curviligne, par exemple...
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[invited40176e2]

salut,

effectivement c'est une notation simplifier qu'on utilise beaucoup lorsqu'on fait des intégrales, et plus précisément des changement de variables dans une intégrale, par exemple un truc du genre intsqrt(x^2-1)dx, bon tu fais le chanegment de variable, tu pose que x=cos(t), tu exprimes ta variable initiale comme une fonction d'une autre variable t, tu effectue cette transformation, ce qui implique entre autre que les domaines d'intégrations des x et t seront différents bien qu'il y a moyen de passer de l'un a l'autre par l'intermédiaire de l'équation définissant le changement de variable. Ensuite pour exprimer totalement l'intégrale en fonction det tu dois avoir une expression opour le dx, celle là tu la trouve en dérivant les deux membre de l'équation du changement de variable:
dx=-sin(t)dt, et là le -sin(t) c'est le jacobien (ou le déterminant) de la transformation.

en remplaçant dans l'intégrale, tu obtient une intégrale pour t que tu peut résoudre.
dans le cas des intégrales curilignes cela intervient beaucoup car tu est souvent amené à devoir résoudre des intéégrales qui ne peuvent se résoudre que si tu passe en coordonnée polaire: x=rcos theta ou y= rsin theta

voilà, j'espère que cela te sera utile.