Calcul d'une base adaptée dans un groupe libre

[Tiky]

Bonsoir,

Soit et , . On définit .
Je dois déterminer une base de A qui soit adaptée à B. C'est-à-dire que je cherche deux éléments de A, et tels qu'il existe deux entiers
et tels que et (, ) forment une base de B (quitte à retirer si est nul).

J'ai un théorème de mon cours qui justifie l'existence d'une telle base, toutefois je ne sais pas comment en trouver une. Avez-vous une idée ?
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[invite57a1e779]

On commence par considérer une forme linéaire sur définie par : .
Soit un élément de , combien vaut ?
Détermine , puis pour que soit maximal.
Tu définis alors de telle sorte que soit un générateur de ce maximal.

[Tiky]

On a . Alors

. Pour que soit maximal dans ,
il suffit de prendre et premiers entre eux ? Quelque chose m'échappe.

[invite57a1e779]

Excuse-moi, ce n'est pas qui intervient, mais .
Ici il faut déterminer u et v pour que l'ensemble des soit maximal.
Et cet ensemble ne peut pas être .

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tiky]

Ok, donc

Or . Je choisis donc u=0 et v=1.
Alors et donc dans ce cas,

Je vais rechercher e_1.

[Tiky]

Je peux prendre non ? J'ai alors et 2 engendre . J'ai alors
Comment choisir ?

[invite57a1e779]

Il faut compléter avec un de telle sorte que :



et on va se retrouver avec : .

[Tiky]

Uhm, je ne vois comment procéder. Finalement j'ai trouvé une méthode sur internet qui me plaît bien que voici. L'idée est de faire une sorte de pivot de Gauss.
Soit la base canonique de . Alors je considère la matrice :


Je commence par permuter les deux colonnes. Ce qui revient à poser et .

Ensuite je soustrais 7 fois la première colonne à la seconde. Ce qui revient à poser . On obtient :

Enfin je soustrais la 2 fois la première ligne à la dernière. Ce qui revient à poser


Finalement on a : et . Une base de A est donc (avec et une base de B, .

J'en déduis que (\cong ne passe pas sur le Latex du forum...)

[invite57a1e779]

C'est peut-être plus clair pour toi de travailler sur une matrice par pivot de Gauss, et d'interpréter ensuite les calculs en terme de changement de base pour trouver les bases adaptées et .

Juste une remarque : le pivot de Gauss t'a conduit à , alors que ma méthode t'avait conduit à .

[Tiky]

Oui ça l'est

La question suivante est de montrer que si un groupe G abélien est engendré par 2 éléments a et b tels que :
et , alors G est isomorphe à un groupe quotient d'ordre 52.

Avec ce qui a été fait précédemment, j'aimerais montrer qu'il est isomorphe à . Je considère donc l'application :

Cette application est un morphisme surjectif. J'ai montré que son noyau contenait B mais je ne vois pas pourquoi celui-ci serait égal à B.
Je fais peut-être fausse route.

En fait dans l'énoncé, la phrase est tournée de telle sorte qu'on ne sait pas si c'est le quotient qui est d'ordre 52 ou le groupe dont on fait le quotient.

[invite57a1e779]

La question suivante est de montrer que si un groupe G abélien est engendré par 2 éléments a et b tels que :
et , ...

Lorsqu'on définit un groupe G par générateurs et relations, on sous-entend que les relations données sont une famille génératrice de l'ensemble des relations entre les générateurs.
Or, un élément du noyau qui n'appartiendrait pas à B conduirait à une relation entre a et b indépendante des données.

... alors G est isomorphe à un groupe quotient d'ordre 52.

C'est le groupe quotient qui est d'ordre 52. Le but de l'exercice est de décrire le groupe G, en particulier de connaître le nombre de ses éléments.
D'autre part, le cadre amène à considérer un quotient du groupe Z², et ce groupe n'est pas d'ordre 52.
La phrase est te sembler ambigüe, mais elle est traditionnelle. Pour parler du groupe dont on fait le quotient, on dirait : «alors G est isomorphe à un quotient d'un groupe d'ordre 52».

[Tiky]

Justement, j'ai reformulé l'énoncé tel que je l'ai compris. Dans le texte il est écrit mots pour mots : "Montrer que G est isomorphe à un quotient d'un groupe d'ordre 52".

[invite57a1e779]

Alors, c'est que l'on ne suppose pas défini par les seules relations données par l'énoncé.

Tu restes donc avec ton morphisme dont le noyau contient .

Un petit passage au quotient, te fournit un nouveau morphisme surjectif .

Or est d'ordre 52 et est isomorphe à .

[Tiky]

Ok, j'ai compris. Merci pour ton aide.