Limite en +oo

[invite0bb5307a]

Petit problème dans un exercice.

On a |z|< 1

Pourquoi lim n * zⁿ = 0 (en +oo)

lim n = +oo

et lim zⁿ = 0

mais 0 * +oo est une forme indéterminée.
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[phys4]

Petit problème dans un exercice.

On a |z|< 1

Pourquoi lim n * zⁿ = 0 (en +oo)
lim n = +oo
et lim zⁿ = 0

mais 0 * +oo est une forme indéterminée.

Bonjour,
La forme est bien une forme indéterminée si l'on ne sait pas comment les deux quantités tendent vers leurs limites.
Ici les fonctions sont données.
Il suffit de raisonner par incrémentation, chaque fois que n augmente de 1, le produit est multiplié par (n+1) |z|/n
Puisque |z| <1, il existe une valeur N telle que (N+1) |z|/N < 1
Pour tous les n > N la suite est majorée par une suite géométrique décroissante, donc elle tend vers zéro.

Pouvez y arriver avec ces indications ?

[invite0bb5307a]

Là, je ne comprends pas. On n'a jamais raisonner comme ça.
Il n'y a pas une autre manière de faire?

[invite0bb5307a]

Lorsque n augmente de 1, on obtient (n+1)*zⁿ⁺¹ et pas (n+1)*zⁿ non?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Lorsque n augmente de 1, on obtient (n+1)*zⁿ⁺¹ et pas (n+1)*zⁿ non?

Si est nul, le résultat est immédiat ; je suppose donc non nul.

Je note ; alors pour tout entier naturel : tend vers quand tend vers l'infini.

Je pose ; comme : .

Par définition de la convergence de vers , il existe un rang tel que :



La suite de est donc décroissante à partir du rang , et on en déduit :



Comme , la suite géométrique de raison est de limite nulle, et la majoration précédente prouve qu'il en est de même de la suite de terme général .