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Produit de termes consécutifs



  1. #1
    stefouille31

    Produit de termes consécutifs


    ------

    Il me manque 2questions!

    U est la suite à termes strictement positifs définie par:
    Uo=1 et pour tout entier naturel n, ln(Un+1)=-1+ln Un

    1. a/démontrer que pour tout n E N, (Un+1)/Un= 1/e
    En déduire la nature de la suite U
    b/ exprimer Un en fonction de n

    2.On note Vn=ln(Un)
    Exprimer la somme Vo+V1+....+Vn en fonction de n
    3.En déduire l'expression du produit Uo*U1*...*Un
    en fonction de n

    Voici mes Réponses:
    lne=1

    1.a/ ln Un+1=-lne+lnUn
    équivaut à: lnUn+1=ln (1/e)+lnUn
    équivaut à: ln Un+1= ln((1/e)*Un)) car lna+lnb= ln(ab)
    équivaut à: Un+1= (1/e)*Un car lna=lnb équivaut à a=b
    équivaut à Un+1/Un= 1/e
    J'ai dis que 'était une suite géométrique (Un+1=Un*q) de raison q=1/e et de premier terme Uo=1


    b/Pour exprimer Un en fonction de n nous devons retrouver l'expression suivante: tel que Un=Uo*q^n
    donc Un=1*(1/e)^n
    Soit Un=(1/e)^n

    2. Vn=ln(Un)
    il y a n+1 termes car la somme est Vo+V1+....+Vn
    Vn=ln(1/e)^n
    il faut que je cherche la somme mais en considérant que la suite V soit une suite géométrique?

    3. je ne trouve pas non plus

    Merci de bien vouloir m'aider!

    -----

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  3. #2
    Jeanpaul

    Re : Produit de termes consécutifs

    [QUOTE=stefouille31][B]il faut que je cherche la somme mais en considérant que la suite V soit une suite géométrique?

    QUOTE]
    Où vas-tu chercher que Vn est une suite géométrique ?

  4. #3
    stefouille31

    Re : Produit de termes consécutifs

    beh justement je sais pas lol parceque la suite U en est une et comme Vn=ln(Un) jpensais qu'il y aurait un rapport

  5. #4
    invite43219988

    Re : Produit de termes consécutifs

    2. Vn=ln(Un)
    il y a n+1 termes car la somme est Vo+V1+....+Vn
    Vn=ln(1/e)^n
    il faut que je cherche la somme mais en considérant que la suite V soit une suite géométrique?
    Vn=ln((1/e)^n)=n*ln(1/e)=...
    Je te laisse simplifier.
    Tu verras alors que Vn est une suite arithmétique de raison -1.

    Pour la question 3 :
    il faut essayer de bien comprendre que la somme des logarithmes est égale au logarithme du produit ! Ainsi, V0+V1+...+Vn est une somme de logarithmes (ln(Un)).
    Tu connais la somme des Vn, tu connais donc la somme des ln(Un), tu peux donc en déduire la valeur du produit des Un.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    stefouille31

    Re : Produit de termes consécutifs

    Merci mais je trouve pas que c'est une suite arithmétique:
    Vn=n*ln(1/e)=n*-lne=n*-1=-1n ?

  8. #6
    Odie

    Re : Produit de termes consécutifs

    Salut,

    Bien sûr qu'elle est arithmétique!
    Vn = -n ou si tu préfères : V0 = 0 et Vn+1 = Vn - 1

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  10. #7
    stefouille31

    Re : Produit de termes consécutifs

    ah d'accord merci beaucoup
    donc la somme d'une suite arithmétique c'est Vn-1=n*(V0+Vn-1)/2
    Vn-1=n*((Vn+1)/2 )?

  11. #8
    invite43219988

    Re : Produit de termes consécutifs

    Vn=-n n'est pas une suite arithmétique ?

    V0=0
    V1=-1
    V2=-2
    V3=-3
    etc...
    Il me semble qu'on ajoute -1 à chaque fois personnellement

    Si tu avais par exemple :

    V0=1
    V1=2
    V2=4
    V3=8
    etc...

    Là ce serait une suite géométrique car pour passer de Vn à V(n+1), on multiplie Vn par 2.

  12. #9
    invite43219988

    Re : Produit de termes consécutifs

    Ah non, la somme S d'une suite arithmétique vaut :

    S=(nombre de termes)*(premier terme + dernier terme)/2

    Ici, sachant que tu pars de V0 et que tu vas jusqu'à Vn, tu as n+1 termes.

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