Produit de termes consécutifs

[invite3b09ac13]

Il me manque 2questions!

U est la suite à termes strictement positifs définie par:
Uo=1 et pour tout entier naturel n, ln(Un+1)=-1+ln Un

1. a/démontrer que pour tout n E N, (Un+1)/Un= 1/e
En déduire la nature de la suite U
b/ exprimer Un en fonction de n

2.On note Vn=ln(Un)
Exprimer la somme Vo+V1+....+Vn en fonction de n
3.En déduire l'expression du produit Uo*U1*...*Un
en fonction de n

Voici mes Réponses:
lne=1

1.a/ ln Un+1=-lne+lnUn
équivaut à: lnUn+1=ln (1/e)+lnUn
équivaut à: ln Un+1= ln((1/e)*Un)) car lna+lnb= ln(ab)
équivaut à: Un+1= (1/e)*Un car lna=lnb équivaut à a=b
équivaut à Un+1/Un= 1/e
J'ai dis que 'était une suite géométrique (Un+1=Un*q) de raison q=1/e et de premier terme Uo=1


b/Pour exprimer Un en fonction de n nous devons retrouver l'expression suivante: tel que Un=Uo*q^n
donc Un=1*(1/e)^n
Soit Un=(1/e)^n

2. Vn=ln(Un)
il y a n+1 termes car la somme est Vo+V1+....+Vn
Vn=ln(1/e)^n
il faut que je cherche la somme mais en considérant que la suite V soit une suite géométrique?

3. je ne trouve pas non plus

Merci de bien vouloir m'aider!
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[invitea3eb043e]

[QUOTE=stefouille31][B]il faut que je cherche la somme mais en considérant que la suite V soit une suite géométrique?

QUOTE]
Où vas-tu chercher que Vn est une suite géométrique ?

[invite3b09ac13]

beh justement je sais pas lol parceque la suite U en est une et comme Vn=ln(Un) jpensais qu'il y aurait un rapport

[invitebb921944]

2. Vn=ln(Un)
il y a n+1 termes car la somme est Vo+V1+....+Vn
Vn=ln(1/e)^n
il faut que je cherche la somme mais en considérant que la suite V soit une suite géométrique?

Vn=ln((1/e)^n)=n*ln(1/e)=...
Je te laisse simplifier.
Tu verras alors que Vn est une suite arithmétique de raison -1.

Pour la question 3 :
il faut essayer de bien comprendre que la somme des logarithmes est égale au logarithme du produit ! Ainsi, V0+V1+...+Vn est une somme de logarithmes (ln(Un)).
Tu connais la somme des Vn, tu connais donc la somme des ln(Un), tu peux donc en déduire la valeur du produit des Un.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3b09ac13]

Merci mais je trouve pas que c'est une suite arithmétique:
Vn=n*ln(1/e)=n*-lne=n*-1=-1n ?

[inviteb85b19ce]

Salut,

Bien sûr qu'elle est arithmétique!
V_n = -n ou si tu préfères : V₀ = 0 et V_n+1 = V_n - 1

[invite3b09ac13]

ah d'accord merci beaucoup
donc la somme d'une suite arithmétique c'est Vn-1=n*(V0+Vn-1)/2
Vn-1=n*((Vn+1)/2 )?

[invitebb921944]

Vn=-n n'est pas une suite arithmétique ?

V0=0
V1=-1
V2=-2
V3=-3
etc...
Il me semble qu'on ajoute -1 à chaque fois personnellement

Si tu avais par exemple :

V0=1
V1=2
V2=4
V3=8
etc...

Là ce serait une suite géométrique car pour passer de Vn à V(n+1), on multiplie Vn par 2.

[invitebb921944]

Ah non, la somme S d'une suite arithmétique vaut :

S=(nombre de termes)*(premier terme + dernier terme)/2

Ici, sachant que tu pars de V0 et que tu vas jusqu'à Vn, tu as n+1 termes.