intégrabilité de 1/(x+y^2+z^3) sur [0,1]^3

[invite7b58fd47]

Bonjour,
j'aimerai avoir votre avis sur l'étude de l'intégrabilité sur [0,1]^3 de 1/(x+y^2+z^3)

Etant sur [0,1]^3, la fonction est positive et donc en vertu du théorème de Fubini-Tonelli, on peut intégrer variable par variable (si on trouve qqch de fini, alors la fonction est intégrable)

ce que je fais à la main, en intégrant d'abord par rapport à x, puis par rapport à y, et enfin par rapport à z.
Je trouve un résultat fini, donc ce serait intégrable...

Cependant, 2 choses :
-cela va à l'encontre de mon intuition...(donc si vous aviez une explication intuitive du fait que par avance on aurait pu "deviner" le caractère intégrable c'est super ^^)
-les intégration sont très pénibles, et des erreurs de calcul s'y glissent facilement (d'ailleurs, je ne suis pas sûr à 100% de mon calcul...). N'y aurait-il pas une autre méthode (moins calculatoire) du style changement de variable et majoration (pas réussi...)
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[God's Breath]

Bonjour,

Avec les fonctions de plusieurs variables qui ne sont pas homogènes, il est difficile d'avoir une intuition.

Quant à la méthode calculatoire, il faut être capable de la mettre en oeuvre, c'est parfois la seule possible.

Mais il faut limiter les calculs au minimum.

On commence par intégrer en :



On remarque que est définie et continue sur , donc existe sans problème, et il est inutile de la calculer explicitement. Il reste à s'occuper du terme en . On intègre en avec une intégration par parties, et une décomposition en éléments simples pour la fraction rationnelle obtenue :



Pour , il n'y a aucun problème d'existence, et, comme pour , il est inutile de calculer explicitement sa valeur.

Pour , il y a a priori un problème au voisinage de 0, mais il est vite réglé puisque la fonction arctangente est bornée.

Donc on a bien une valeur finie :

[Garf]

Sinon, voilà une petite méthode pour récupérer un peu d'intuition, mais cela requiert un peu de théorie de la mesure (ou au moins de théorie de la mesure sans le dire).

Posons, pour tout réel positif ,



Remarquons que, si est supérieur à , alors la condition ne peut pas être vérifiée. De même si est supérieur à ou si est supérieur à . L'ensemble est donc inclus dans le pavé , qui est de volume . Or, la fonction à intégrer étant positive, on a :

[invite7b58fd47]

ok super merci à vous 2 !

sinon pour ce qui est de la méthode avec At, que faut-il invoquer précisément pour dire que

[A voir en vidéo sur Futura]

[Garf]

Il suffit que la fonction à intégrer soit positive (bon, il y a d'autres conditions techniques pour éviter les cas pathologiques, mais ça m'étonnerait qu'on les voie avant de faire de la théorie de la mesure). Cette égalité se montre via le théorème de Fubini-Tonelli. Soit un entier naturel et soit une partie de (ici, ). Soit une fonction de à valeurs dans (ici, ).
Je rappelle que si est une partie d'un ensemble , on note la fonction qui vaut sur et ailleurs. On peut abuser de cette notation ; par exemple, ci-dessous, est la fonction qui vaut si et sinon.

On a alors :



Maintenant, on utilise le théorème de Fubini-Tonelli :