Intégrabilité

[invite61ab3646]

Bonjour à tous, amis matheux.

Je suis en train d'essayer de résoudre le problème suivant :

" Soit f la fonction 1-périodique, égale à x^a(1-x)^b sur ]0,1[ et f(0)=0

Pour quels a et b f € L¹₁ ? "

Il faut donc trouver a et b tel que f admette une intégrale finie sur un intervalle d'amplitude 1. Prenons donc I = ]0,1[.

Je prends le soin de remarquer que la valeur de f en 0 ne change pas la valeur de l'intégrale.

La solution que le prof m'a donnée est a>-1 et b>-1.

Pour moi, la seule façon de trouver cette solution est de séparer l'intégrale en deux. Une sur [0,c[ et l'autre sur ]c,1] avec 0<c<1.

Ainsi, on obtient deux problèmes. L'un en 0, l'autre en 1.

Dans la première intégrale, f(x)~x^a. Il faut donc que a>-1 par le critère de Riemann. De même dans la deuxième, on trouve que b>-1.

Par contre ce raisonnement nécessite que :



Est-ce vrai dans ce cas ? Et est-ce vrai d'une manière générale pour une fonction f quelconque ? L'implication <= est triviale mais => est-elle vraie ?
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[invite899aa2b3]

Je pense que l'implication dans le sens qui t'intéresse est vraie. L'écriture contient deux limites. Il est nécessaire que les deux limites en question existent.

[invite1e1a1a86]

dans ton cas la fonction est positive et donc l'implication => est vraie (quand tu fais tendre les bornes vers 0 ou vers 1, le résultat est croissant)

pour une fonction qui change de signe,on parle d'intégrabilité pour la valeur absolue tu peux donc remplacer les "intégrale converge" par "f intégrable" sinon le résultat est faux (mais l'intégrale de gauche est "mal définie" au sens du matheux donc bon...)

[invite61ab3646]

Merci beaucoup pour vos réponses.

Par contre, je n'ai pas compris :

Comment ça l'intégrale de gauche est mal définie ? Dans le cas où f prendrait des valeurs positives ou négatives ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1e1a1a86]

si f prenait des valeurs positives, et que les deux intégrales de droite ne convergerait pas alors qu'on pourrait donner un sens a l'intégrale de gauche

[invite61ab3646]

As-tu un exemple à me donner ? Parce que je n'en vois pas =/

[invite1e1a1a86]

sur ]-1,1[ je crois par exemple

on peut donner un sens à l'intégrale entière (0 car fonction impaire) mais elle n'est pas intégrable.

le mot "intégrale converge" est mal définie (tu fais tendre les bornes l'une après l'autre? en même temps? à même vitesse?) et il vaut mieux dire intégrable.

[invitec317278e]

le mot "intégrale converge" est mal définie (tu fais tendre les bornes l'une après l'autre? en même temps? à même vitesse?) et il vaut mieux dire intégrable.

Salut,
il me semble au contraire que lorsque l'on parle d'intégrale convergente, on parle, sauf spécifications contraires, toujours de "faire tendre les bornes indépendamment l'une de l'autre, de toutes les manières possibles", et que c'est très bien défini.