Intégrabilité

[invite3c7cf36a]

Bonsoir,

Je bute sur un exercice d'intégrabilité je ne vois pas trop comment faire j'espère que vous pourrez me donner un petit coup de pouce.

Voilà mon sujet:

Soit u:R+->R+ continue telle qu'existe f:R+->R continue et bornée vérifiant u(x)=f(x+1)-f(x) pour tout x appartenant à R+.

Je dois montrer que u est intégrable sur R+.
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[God's Breath]

Comme est à valeurs positives, il suffit de prouver que l'application est bornée sur .

[invite3c7cf36a]

Je ne suis pas sûre d'être partie dans la bonne direction.

j'ai séparé l'intégrale de u(t)dt en deux de la façon suivante:

intégrale de 0 à x de f(t+1)dt - intégrale de 0 à x de f(t)dt.

Je sais que f(t) est bornée est-ce que je peux dire que l'intégrale de f(t) est bornée. Pour l'autre j'ai pas d'idée.

Je comprend pas très bien comment je dois faire...

[God's Breath]

Changement de variable dans la première intégrale...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3c7cf36a]

Peut-on dire que si la fonction f(t) est bornée alors l'intégrale de cette fonction est aussi bornée?

On trouve après changement de variable intégrable de 1 à x+1 de f(u)du - intégrale de 0 à x de f(t)dt

[God's Breath]

Un peu de relation de Chasles pour faire disparaître la partie commune aux deux intégrales...

[invite3c7cf36a]

Je ne vois pas du tout où on doit arriver .

On trouve en faisant cela:

intégrale de x à x+1 de f(u)du - intégrale de 0 à 1 de f(t) dt

[God's Breath]

f est bornée.

[invite3c7cf36a]

Oui on peut dire que l'intégrale de f est bornée alors?

[God's Breath]

A ton avis ?

[invite3c7cf36a]

Je pense que oui

[God's Breath]

, ça te dit quelque chose ?

[invite3c7cf36a]

ah ba oui effectivement donc en fait j'aurais:

m <ou= intégrale de x à x+1 de f(u)du < ou = M
et m' < ou = intégrale de 0 à 1 f(t)dt < ou = M'

Donc m-m' < ou = int de x à x+1 de f(u)du - int de 0 à 1 de f(t)dt < ou = M-M'

Donc l'intégrale est bien bornée donc la fonction u est bien intégrable.

[God's Breath]

Quelle différence fais-tu entre M et M' ?

[invite3c7cf36a]

Normalement M et M' sont les majorants respectifs de f mais il me semble qu'ils sont identiques dans ce cas là çà ferait 0 çà me paraît bizarre...

[God's Breath]

Heureusement qu'ils sont identiques, sinon ta majoration dépendrait de M, donc de x.
On ne trouve pas 0 car on n'a pas le droit de soustraire des inégalités...

[invite3c7cf36a]

Zut . Comment faire pour relier les deux alors?

[God's Breath]

En majorant avec des valeurs absolues...

[invite3c7cf36a]

Dans ce cas on a:

valeur absolue de l' intégrale de x à x+1 de f(u)du < ou = valeur absolue de M

et pareil pour l'autre intégrale?

[God's Breath]

Oui, et l'inégalité triangulaire transforme la différence en une somme, la maoration est large, mais au moins elle est juste.

[invite3c7cf36a]

Donc en fait je me retrouve avec:

2m <ou= int de x à x+1 de f(u)du - int de 0 à 1 de f(t)dt <ou=2* valeur absolue de M

C'est cela?

[God's Breath]

Tu te retrouves, du fait que avec en notant un majorant sur de .

[invite3c7cf36a]

Donc en fait -2M<ou= F(x) <ou= 2M donc elle est bornée.

[God's Breath]

Non : .

[invite3c7cf36a]

Mais le but c'est de borner u donc F(x) non?

[God's Breath]

Il n'y a pas de division par 2 ! est majorée par , donc et , ce qui fournit bien une majoration globale par .

On peut aussi dire, dès le début que, pour toute constante , on a , et que, quitte à remplacer par , on peut, par un choix convenable de la constante , supposer négative. Auquel cas , et on a la majoration (attention, cette dernière intégrale est négative...).

[invite3c7cf36a]

Donc l'intégrale de 0 à x de u(t) dt est comprise entre -2M et 2M?

[God's Breath]

[invite3c7cf36a]

Effectivement vu qu'elle est positive.

Merci beaucoup c'est un peu moins confus pour moi.