Existence d'une limite à gauche

[invitee3a2979b]

Peut-être n'a-t-on pas besoin d'être dans le supérieur pour répondre à cette question :
Est-ce qu'une fonction continue et bornée sur ]0,1[ admet une limite à gauche en 1. Je ne trouve ni démonstration, ni contre-exemple...
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[invitee3a2979b]

limite finie...

[invite57a1e779]

Non, il suffit de considérer .

[invitec317278e]

Edit : grillé...mais j'sais pas trop pourquoi, là XD

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee3a2979b]

merci. en fait j'ai une série entière de rayon de convergence 1 telle que la série des a_n converge (la série entière a pour terme général a_nxⁿ). Il faut montrer que la somme a une limite à gauche en 1. Et on me dit de faire une transformation d'Abel. L'idéal serait de montrer que la série converge uniformément sur [0,1], mais je ne vois pas. avec une transformation d'Abel, je le montre sur ]0,1[ mais pas sur [0,1]...

[invite57a1e779]

Comment pratiques-tu ta transformation d'Abel ?

[invitee3a2979b]

je pose V_k la somme de 0 à n des x^k. Je fais la somme des a_kx^k entre n+1 et n+p en faisant intervenir V_k (séparation de la somme en deux, réindexation). Pour le montrer sur ]0,1[ je me place bien sûr sur un compact inclus dans ]0,1[, et je peux alors majorer les V_k, et étant multiplié par 2*a_(n+1) (je sors de la somme la majoration de V_n, et la somme est télescopique, on les regroupe avec les deux terme qu'il restait en dehors de la somme), la série vérifie le critère de Cauchy uniforme.
Désolé je n'ai pas trop détaillé

[invite57a1e779]

EN fait, pour pouvoir utiliser le fait que la série des converge, il faut faire la transformation d'Abel un peu différemment de d'habitude.

On pose , de telle sorte que et , et on écrit pour faire la transformation d'Abel et mettre en place le critère de Cauchy uniforme sur , car il n'y a jamais besoin de supposer .

[invitee3a2979b]

Ah oui ! Une transformation d'Abel utilisant le reste... C'est vrai que je n'y ai pas du tout pensé, je ne l'avais jamais utilisé jusque là. Merci beaucoup en tout cas.