Encore des suites...

[Jon83]

Bonjour à tous!

On me donne et

On conjecture facilement que cette suite est croissante, mais je n'arrive pas à aboutir dans mes démos:

Que je calcule ou les expressions obtenues ne me permettent pas de conclure....

Suis-je sur une fausse piste ou y a t-il une astuce?
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[invite027ea645]

Si tu montres que la suite prend ses valeurs entre 0 et 1 et que tu fais la différence des termes, ça devrait être assez direct.

[invite07dd2471]

Egalement voir que où et étudier .

[Jon83]

Si tu montres que la suite prend ses valeurs entre 0 et 1 et que tu fais la différence des termes, ça devrait être assez direct.

Par récurrence, on démontre facilement que

donc

Le dénominateur est >0, mais le numérateur change de signe entre 0 et 1 ???

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite07dd2471]

D'où l'étude de ! Elle est clairement croissante !

[Jon83]

D'où l'étude de ! Elle est clairement croissante !

Oui, l'étude de montre qu'elle est croissante et positive entre 0 et 1.
Mais quel théorème (en TS) te permet de conclure que la suite est croissante?

[invite07dd2471]

Je sais pas comment on l'appelle mais il ya quelques années encore on voyait cela en S. Tu montres par récurrence qu'une suite définie par une fonction a ses termes entre a et b (ici 0 et 1). Puis tu étudies f sur [a,b]. Si f est monotone sur cet intervalle c'est gagné, Un sera de même sens de variation. En effet, si par exemple Uo est entre a et b, tu sais que si f est croissante, U1=f(U0) est plus grand que U0 mais toujours entre a et b, et ainsi de suite. C'est pour ça qu'il suffit de ne considérer f que sur l'intervalle dans lequel Un prend ses valeurs

On peut même montrer que si il ya convergence, elle se fait vers une borne de l'intervalle ou un point fixe.

PS : Pourquoi TS ? on est dans le forum maths du supérieur !

[Jon83]

Je sais pas comment on l'appelle mais il ya quelques années encore on voyait cela en S. Tu montres par récurrence qu'une suite définie par une fonction a ses termes entre a et b (ici 0 et 1). Puis tu étudies f sur [a,b]. Si f est monotone sur cet intervalle c'est gagné, Un sera de même sens de variation. En effet, si par exemple Uo est entre a et b, tu sais que si f est croissante, U1=f(U0) est plus grand que U0 mais toujours entre a et b, et ainsi de suite. C'est pour ça qu'il suffit de ne considérer f que sur l'intervalle dans lequel Un prend ses valeurs

En fait, il n'y a pas de théorème particulier (à ma connaissance).
f étant strictement croissante sur [0, 1] et ayant on trouve facilement et on arrive immédiatement par récurrence à:

CQFD

[Jon83]

On me donne ensuite

En utilisant la méthode précédente, on démontre que est décroissante.

On demande ensuite de prouver que et sont adjacentes... et là ça se corse car si je calcule je n'obtiens pas une expression sympathique...
Suis-je dans l'erreur ou y a t-il une autre méthode?

[invite07dd2471]

par inégalité triangulaire, où l est la limite commune des deux suites (point fixe de la fonction f)

[Jon83]

par inégalité triangulaire, où l est la limite commune des deux suites (point fixe de la fonction f)

Mais tant que l'on a pas démontré que les deux suites sont adjacentes, on ne peut pas dire que les deux limites sont égales?

[Jon83]

Je trouve
Comment démontrer que ça tend vers 0 quand n tend vers l'infini????

[Jon83]

Je trouve
Comment démontrer que ça tend vers 0 quand n tend vers l'infini????

coquille: je voulais écrire

[Jon83]

Bonjour!

Personne pour m'indiquer une piste?