eEnsemble de points

[invite705d0470]

Bonsoir, je cherche à trouver les points du plan euclidien qui vérifient avec et A, B distincts.

Seulement, je ne suis pas certain de la méthode (c'est pourtant un exercice très classique !). Puis-je réduire la condition à , et en déduire que l'ensemble recherché est:
- deux demi-droites issues respectivement de A et B (i.e la droite (AB) privée du segment AB) si
- l'ensemble vide si
- Sinon, par théorème de l'angle inscrit , un cercle de diamètre AB privé de A et de B ?

Merci d'avance !
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[invite427a7819]

Bonsoir,

Ca me semble juste, mis à part que :
Dans le cas où , convient aussi (donc on a en fait toute la droite (AB) privée des points A et B)
Dans le cas où , on doit faire un peu plus de travail pour trouver le centre et le rayon du cercle... Le cas du cercle de diamètre [AB] correspondant en fait à un angle très précis de Pi/2. On doit ici avoir un feuilletage du plan privé de A et B, en cercles alignés sur la médiatrice de [AB], privés de ces points. Cela dit, je n'ai plus la méthode en tête (elle vendait le rayon du cercle, et la distance du centre à la droite (AB), si je me souviens bien, mais rien de plus).

Bref, toutes mes excuses de ne pas être en mesure de détailler plus avant.

[Amanuensis]

S'il s'agit bien du produit scalaire divisé par le produit des normes, les réponses sont fausses.

- deux demi-droites issues respectivement de A et B (i.e la droite (AB) privée du segment AB) si

Non, c'est le cas pour lambda=1 (arccos nul), et non pas 0. Et c'est alors toute la droite sauf A et B.

- l'ensemble vide si

Oui

- Sinon, par théorème de l'angle inscrit , un cercle de diamètre AB privé de A et de B ?

Non.

Si lambda<0, pas de solution (le produit scalaire et les normes sont positifs!)

Pour 0<=lambda<1 la solution est l'ensemble des deux cercles passant par A et B et de centre O tel que AOB vaille deux fois l'arc-cos, moins les points A et B.

Dans le cas 0, les deux cercles sont confondus, et AB est un diamètre.

[invite705d0470]

Merci à vous deux !
Oui, Amanuensis toutes mes excuses j'ai inversé les cas 0 et 1: pour 0 je pensais bien sûr au cercle de diamètre AB ! Et pour les cas entre 0 et 1, j'ai en effet fait la confusion entre un cercle passant par A et B (privé des points A et B) et le cercle de diamètre AB :/

Par contre je ne comprends toujours pas pourquoi l'ensemble est une droite entière pour la valeur 1: .
C'est le cas d'égalité de Cauchy-Schwarz, qui donne l'équivalence: ce qui correspond à des vecteurs colinéaires de même sens.
Du coup, le segment AB est à exclure !

Si lambda<0, pas de solution (le produit scalaire et les normes sont positifs!)

De même, je pense que des solutions existent pour puisque le produit scalaire peut être négatif !
Et par exemple je pense que lorsque , l'ensemble cherché est justement le segment AB privé de A et de B ...

Enfin, un détail me chiffonne quant à la différence des ensembles engendrés par des valeurs opposées du paramètre. Lorsqu'on étudie, comme c'est le cas ici, un produit scalaire, on considère les angles orientés, n'est ce pas ? (d'où la possibilité d'obtenir un scalaire négatif) Dès lors, le théorème de l'angle inscrit ne s'applique plus, dumoins plus totalement puisqu'il concerne des angles modulo , c'est à dire des angles non orientés ! Je serais alors tenté de dire qu' hormis pour un lambda nul, les ensembles sont des arcs de cercles et non pas des cercles comme affirmé plus haut (par moi en premier par ailleurs). Pour une valeur convenable (entre 0 et 1 par exemple) du paramètre, deux cercles sont a envisager, dont les centres sont tels que . Si on oriente le plan selon les conventions trigonométriques, alors et engendre: l'arc de cercle le plus grand du cercle du haut et l'arc de cercle le plus petit du cercle du bas, c'est à dire les parties des cercles considérés qui se trouvent dans la partie "supérieure" du plan.

Et la valeur opposée de lambda opérant de la même façon, les cercles se complètent lorsque lambda varie !

j'ai fait long mais j'espère être resté le plus clair possible. Qu'en pensez vous ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

OK, ma faute.

J'ai pensé "valeur absolue".

Avec le signe, cela coupe en deux. Pour la ligne (cas 1 et -1) extérieur vs. intérieur. Et pour les deux cercles, un seul des deux ?

J'écris vite fait, je suis pris sur autre chose, mais ça doit être qq chose comme ça...

(La déformation doit être continue avec lambda, très "visuel"...

[Amanuensis]

Non, mon dernier message est faux. Pas le temps de corriger pour le moment...

[Amanuensis]

L'équation est invariante par permutation de A et B, la solution est donc symétrique par rapport à la droite portant AB ainsi que par rapport à la médiatrice de AB.

Pour -1, segment AB ; pour 1 la droite moins le segment.

Pour les négatifs la réunion des petits arcs de chacun des cercles passant par A et B et de bon angle au centre ; pour le positif correspondant la réunion des grands arcs. Avec 0 comme cas particulier, où les arcs sont des demi-cercles...

[invite705d0470]

Ce que j'ai aussi finalement trouvé !
merci